ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоскость \( \alpha \), параллельная стороне \( AC \) треугольника \( ABC \), пересекает стороны \( AB \) и \( BC \) в точках \( A_1 \) и \( C_1 \) соответственно (рис. 5.18). Найдите отрезок \( A_1C_1 \), если \( AC = 18 \) см и \( AA_1 : A_1B = 7 : 5 \).

\( A_1 C_1 \) параллельно \( AC \), значит треугольники \( ABC \) и \( A_1 B C_1 \) подобны. Тогда

\( \frac{A_1 B}{AB} = \frac{A_1 C_1}{AC} \).

Дано \( AA_1 : A_1 B = 7 : 5 \), значит \( AB = 7 + 5 = 12 \) частей, и \( A_1 B = 5 \) частей.

Подставляем:

\( \frac{5}{12} = \frac{A_1 C_1}{18} \).

Отсюда

\( A_1 C_1 = \frac{5 \cdot 18}{12} = 7.5 \) см.

1. В треугольнике \( ABC \) плоскость \( \alpha \) параллельна стороне \( AC \), значит отрезок \( A_1 C_1 \), который лежит в плоскости \( \alpha \), параллелен \( AC \).

2. По свойству параллельных прямых и подобия треугольников треугольники \( ABC \) и \( A_1 B C_1 \) подобны, то есть их стороны пропорциональны. Значит выполняется равенство:

\( \frac{A_1 B}{AB} = \frac{A_1 C_1}{AC} \).

3. Из условия известно, что отношение \( AA_1 : A_1 B = 7 : 5 \). Пусть длина отрезка \( AA_1 = 7x \), тогда \( A_1 B = 5x \). Сумма \( AB = AA_1 + A_1 B = 7x + 5x = 12x \).

4. Следовательно, отношение:

\( \frac{A_1 B}{AB} = \frac{5x}{12x} = \frac{5}{12} \).

5. Подставим это значение в пропорцию из шага 2:

\( \frac{5}{12} = \frac{A_1 C_1}{18} \).

6. Теперь выразим \( A_1 C_1 \):

\( A_1 C_1 = \frac{5}{12} \times 18 \).

7. Выполним умножение:

\( A_1 C_1 = \frac{5 \times 18}{12} = \frac{90}{12} \).

8. Сократим дробь:

\( \frac{90}{12} = \frac{15}{2} = 7.5 \).

9. Получаем, что длина отрезка \( A_1 C_1 \) равна 7.5 см.

10. Ответ: \( A_1 C_1 = 7.5 \) см.