ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Вершины \( A \) и \( C \) треугольника \( ABC \) принадлежат плоскости \( \alpha \), а вершина \( B \) не принадлежит этой плоскости. На сторонах \( AB \) и \( BC \) отмечены соответственно точки \( E \) и \( F \), так что \( BA : BE = BC : BF \). Докажите, что прямая \( EF \) параллельна плоскости \( \alpha \).

Дано: \( AC \subset \alpha \), \( A, C \in \alpha \), \( B \notin \alpha \), точки \( E \) и \( F \) на \( AB \) и \( BC \) соответственно, причем \(\frac{BA}{BE} = \frac{BC}{BF}\).

Докажем, что \( EF \parallel \alpha \).

Так как \(\frac{BA}{BE} = \frac{BC}{BF}\) и угол \( B \) общий, то треугольники \( \triangle EBF \) и \( \triangle ABC \) подобны: \( \triangle EBF \sim \triangle ABC \).

Из подобия следует, что \( EF \parallel AC \).

Поскольку \( AC \subset \alpha \), то \( EF \parallel \alpha \).

Что и требовалось доказать.

1. В треугольнике \( ABC \) вершины \( A \) и \( C \) лежат в плоскости \( \alpha \), то есть \( A, C \in \alpha \), а вершина \( B \) вне плоскости \( \alpha \).

2. Точки \( E \) и \( F \) лежат на отрезках \( AB \) и \( BC \) соответственно, то есть \( E \in AB \), \( F \in BC \).

3. По условию выполнено равенство отношений отрезков: \( \frac{BA}{BE} = \frac{BC}{BF} \).

4. Рассмотрим треугольники \( EBF \) и \( ABC \). У них общий угол при вершине \( B \).

5. Из условия равенства отношений сторон и равенства угла при \( B \) следует, что треугольники \( EBF \) и \( ABC \) подобны по признаку двух сторон и угла между ними: \( \triangle EBF \sim \triangle ABC \).

6. Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны и соответствующие углы равны.

7. Значит, угол между сторонами \( EF \) и \( AC \) равен нулю, то есть \( EF \parallel AC \).

8. Поскольку \( AC \subset \alpha \), прямая \( AC \) лежит в плоскости \( \alpha \).

9. Если прямая \( EF \) параллельна прямой \( AC \), лежащей в плоскости \( \alpha \), то прямая \( EF \) параллельна плоскости \( \alpha \).

10. Следовательно, доказано, что \( EF \parallel \alpha \).