Учебник «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского и В.Б. Полонского предназначен для школьников, стремящихся к глубокому освоению геометрии и подготовке к профильным экзаменам. Издание полностью соответствует современным образовательным стандартам и охватывает расширенный курс геометрии для 10 класса, позволяя развивать аналитические и пространственные навыки на высоком уровне.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы
Точка \( M \) — середина стороны \( AB \) треугольника \( ABC \). Плоскость \( \alpha \) проходит через точку \( M \) параллельно прямой \( AC \) и пересекает сторону \( BC \) в точке \( K \). Докажите, что точка \( K \) — середина стороны \( BC \). Найдите площадь четырёхугольника \( AMKC \), если площадь треугольника \( ABC \) равна 28 см\(^2\).
Дано: \( M \) — середина \( AB \), \( MK \parallel AC \), \( K \in BC \).
Так как \( MK \parallel AC \) и \( M \) — середина \( AB \), то \( MK \) — средняя линия треугольника \( ABC \). Значит, \( K \) — середина \( BC \).
Треугольники \( ABC \) и \( MBK \) подобны с коэффициентом \( \frac{1}{2} \), тогда
\( \frac{S_{MBK}}{S_{ABC}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \).
Площадь \( MBK = \frac{1}{4} \times 28 = 7 \text{ см}^2 \).
Площадь четырёхугольника \( AMKC = S_{ABC} — S_{MBK} = 28 — 7 = 21 \text{ см}^2 \).
1. В треугольнике \( ABC \) точка \( M \) — середина стороны \( AB \), значит \( AM = MB \).
2. Прямая \( \alpha \), проходящая через \( M \) и параллельная стороне \( AC \), пересекает сторону \( BC \) в точке \( K \). По признаку средней линии в треугольнике \( ABC \), отрезок \( MK \), соединяющий середину \( AB \) с точкой на \( BC \), параллелен \( AC \), следовательно, \( K \) — середина \( BC \).
3. Значит, \( MK \) — средняя линия треугольника \( ABC \).
4. Площадь треугольника \( ABC \) равна 28 см².
5. Поскольку \( MK \) — средняя линия, треугольник \( MBK \) подобен треугольнику \( ABC \) с коэффициентом подобия \( \frac{1}{2} \).
6. Площадь подобного треугольника меняется в квадрате коэффициента подобия, поэтому
\( \frac{S_{MBK}}{S_{ABC}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \).
7. Тогда площадь треугольника \( MBK \) равна
\( S_{MBK} = \frac{1}{4} \times 28 = 7 \text{ см}^2 \).
8. Четырёхугольник \( AMKC \) образован треугольником \( ABC \) без треугольника \( MBK \).
9. Следовательно, площадь четырёхугольника \( AMKC \) равна
\( S_{AMKC} = S_{ABC} — S_{MBK} = 28 — 7 = 21 \text{ см}^2 \).
10. Итог: точка \( K \) — середина \( BC \), площадь четырёхугольника \( AMKC \) равна 21 см².
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!