ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \( M \) — середина ребра \( DC \) тетраэдра \( DABC \) (рис. 5.21). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку \( M \) и параллельной прямым \( AD \) и \( BD \). Вычислите площадь сечения, если каждое ребро тетраэдра равно \( a \).

Треугольник \( MKN \) состоит из средних линий треугольника \( ABD \). Тогда \( MN = \frac{a}{2} \).

Площадь треугольника \( ABD \) равна \( \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).

Площадь треугольника \( MKN \) равна \( \frac{1}{4} \) площади треугольника \( ABD \), то есть

\( S_{MKN} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{16} \).

1. Рассмотрим тетраэдр \( DABC \) с ребрами длины \( a \).

2. Точка \( M \) — середина ребра \( DC \), значит координаты \( M \) можно представить как середину отрезка \( DC \).

3. Плоскость проходит через точку \( M \) и параллельна прямым \( AD \) и \( BD \), значит она параллельна плоскости \( ABD \).

4. Так как плоскость параллельна плоскости \( ABD \), то сечение этой плоскостью будет параллелограммом, стороны которого параллельны \( AD \) и \( BD \).

5. Используем свойства средних линий треугольника \( ABD \). Отрезок \( MN \), соединяющий середины сторон \( DC \) и \( AC \), параллелен стороне \( AB \) и равен половине её длины.

6. Аналогично, отрезок \( KN \), соединяющий середины \( AB \) и \( BC \), параллелен стороне \( BD \) и равен половине её длины.

7. Таким образом, сечение — это параллелограмм \( MKNL \), стороны которого равны \( \frac{a}{2} \).

8. Площадь треугольника \( ABD \) равна \( \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).

9. Площадь параллелограмма \( MKNL \) равна половине площади треугольника \( ABD \), так как его стороны в два раза меньше и он параллелен плоскости \( ABD \).

10. Следовательно, площадь сечения равна \( \frac{a^2 \sqrt{3}}{8} \).