ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \( E \) — середина ребра \( AD \) тетраэдра \( DABC \) (рис. 5.22). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки \( B \) и \( E \) и параллельной прямой \( AC \). Вычислите периметр сечения, если каждое ребро тетраэдра равно 4 см.

Дано, что \( EF = \frac{1}{2} AC = 2 \) см.

В треугольнике \( BFC \) по теореме косинусов:
\( BE^2 = BF^2 = FC^2 + BC^2 — 2 \cdot FC \cdot BC \cdot \cos \angle C = 4 + 16 — 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} =\)
\(= 12 \).

Отсюда \( BE = FB = 2\sqrt{3} \) см.

Периметр сечения равен \( EF + EB + FB = 2 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 2 + 4\sqrt{3} \) см.

1. Дано, что \( DABC \) — правильный тетраэдр со стороной \( 4 \) см. Точка \( E \) — середина ребра \( AD \). Плоскость проходит через точки \( B \) и \( E \) и параллельна прямой \( AC \).

2. Найдём длину отрезка \( EF \), где \( F \) — точка пересечения плоскости с ребром \( DC \). Поскольку плоскость параллельна \( AC \), то \( EF \parallel AC \). Так как \( E \) — середина \( AD \), а \( F \) лежит на \( DC \), то по свойствам параллельных отрезков \( EF = \frac{1}{2} AC = 2 \) см.

3. Рассмотрим треугольник \( BFC \), где \( F \) — точка на ребре \( DC \). Известно, что все ребра равны \( 4 \) см, значит \( BC = 4 \), \( DC = 4 \), \( FC = 2 \) (так как \( F \) — середина \( DC \)).

4. Найдём длину отрезка \( BF \) с помощью теоремы косинусов в треугольнике \( BFC \). Угол \( \angle C \) равен \( 60^\circ \) (в правильном тетраэдре все углы между ребрами равны \( 60^\circ \)).

5. По теореме косинусов:

\( BF^2 = BC^2 + FC^2 — 2 \cdot BC \cdot FC \cdot \cos 60^\circ = 4^2 + 2^2 — 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} =\)
\(= 16 + 4 — 8 = 12 \).

6. Значит, \( BF = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \) см.

7. Точка \( E \) — середина \( AD \), ребро \( AB = 4 \) см, поэтому длина \( BE \) равна длине \( BF \) по симметрии, то есть \( BE = 2\sqrt{3} \) см.

8. Теперь найдём периметр треугольника \( BEF \), который является сечением тетраэдра плоскостью.

9. Периметр равен сумме сторон: \( EF + EB + FB = 2 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 2 + 4\sqrt{3} \) см.

10. Ответ: периметр сечения равен \( 2 + 4\sqrt{3} \) см.