ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \( E \) и \( F \) — середины соответственно рёбер \( AB \) и \( BC \) куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) (рис. 5.24). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки \( E \) и \( F \) и параллельной прямой \( DD_1 \). Вычислите периметр сечения, если ребро куба равно \( a \).

\( EF = MK = \frac{1}{2} AC = \frac{a \sqrt{2}}{2} \)
\( EM = FK = a \)
\( P_{EFKM} = 2 \cdot \frac{a \sqrt{2}}{2} + 2a = a \sqrt{2} + 2a = a (2 + \sqrt{2}) \)

1. Пусть \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) — куб с ребром \( a \). Обозначим координаты вершин: \( A(0,0,0) \), \( B(a,0,0) \), \( C(a,a,0) \), \( D(0,a,0) \), \( A_1(0,0,a) \), \( B_1(a,0,a) \), \( C_1(a,a,a) \), \( D_1(0,a,a) \).

2. Точка \( E \) — середина ребра \( AB \), значит \( E \left(\frac{a}{2},0,0\right) \). Точка \( F \) — середина ребра \( BC \), значит \( F \left(a,\frac{a}{2},0\right) \).

3. Прямая \( DD_1 \) направлена вдоль оси \( z \), то есть вертикальна.

4. Плоскость, проходящая через точки \( E \) и \( F \) и параллельная прямой \( DD_1 \), содержит вектор \( \overrightarrow{EF} \) и направление вдоль оси \( z \).

5. В плоскости сечения будут точки \( E, F \) и их проекции вверх на верхнюю грань куба: \( M \) — середина ребра \( A_1B_1 \) с координатами \( M \left(\frac{a}{2},0,a\right) \), \( K \) — середина ребра \( B_1C_1 \) с координатами \( K \left(a,\frac{a}{2},a\right) \).

6. Сечение куба плоскостью — параллелограмм \( EFKM \) с вершинами \( E, F, K, M \).

7. Найдём длину стороны \( EF \):
\( EF = \sqrt{\left(a — \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2} — 0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{2 \cdot \frac{a^2}{4}} = \frac{a \sqrt{2}}{2} \).

8. Найдём длину стороны \( EM \), которая равна длине ребра куба:
\( EM = a \).

9. Поскольку \( EFKM \) — параллелограмм, противоположные стороны равны, значит \( EF = KM \) и \( EM = FK \).

10. Периметр сечения равен сумме всех сторон:
\( P_{EFKM} = 2 \cdot EF + 2 \cdot EM = 2 \cdot \frac{a \sqrt{2}}{2} + 2a = a \sqrt{2} + 2a = a (2 + \sqrt{2}) \).