ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \( E, F, M \) и \( K \) — середины соответственно рёбер \( AB, BC, AD \) и \( CD \) тетраэдра \( DABC \). Докажите, что отрезки \( MF \) и \( KE \) пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Док-во: Точки \( M, E, F, K \) — середины рёбер \( AD, AB, BC, CD \) соответственно.

Тогда \( MK = EF = \frac{1}{2} AC \) и \( ME = KF = \frac{1}{2} BD \).

Поскольку \( MKFE \) — параллелограмм, то \( MO = OF \) и \( EO = OK \), где \( O \) — точка пересечения отрезков \( MF \) и \( KE \).

Значит, отрезки \( MF \) и \( KE \) пересекаются и точка пересечения делит их пополам.

1. Пусть \( DABC \) — тетраэдр. Точки \( E, F, M, K \) — середины рёбер \( AB, BC, AD, CD \) соответственно. Значит, \( E = \frac{A + B}{2} \), \( F = \frac{B + C}{2} \), \( M = \frac{A + D}{2} \), \( K = \frac{C + D}{2} \).

2. Рассмотрим отрезки \( MF \) и \( KE \). Найдём их векторные выражения: \( MF = F — M = \frac{B + C}{2} — \frac{A + D}{2} = \frac{B + C — A — D}{2} \), \( KE = E — K = \frac{A + B}{2} — \frac{C + D}{2} = \frac{A + B — C — D}{2} \).

3. Заметим, что \( MF = — KE \), то есть векторы \( MF \) и \( KE \) равны по длине и противоположны по направлению.

4. Найдём середины отрезков \( MF \) и \( KE \). Середина \( MF \) — точка \( O = \frac{M + F}{2} = \frac{\frac{A + D}{2} + \frac{B + C}{2}}{2} = \frac{A + B + C + D}{4} \).

5. Аналогично, середина \( KE \) — точка \( O’ = \frac{K + E}{2} = \frac{\frac{C + D}{2} + \frac{A + B}{2}}{2} = \frac{A + B + C + D}{4} \).

6. Поскольку \( O = O’ \), отрезки \( MF \) и \( KE \) пересекаются в точке \( O \).

7. Точка \( O \) является серединой каждого из отрезков \( MF \) и \( KE \), значит она делит их пополам.

8. Таким образом, отрезки \( MF \) и \( KE \) пересекаются, и точка пересечения делит их пополам.

9. Это доказывает, что \( MF \) и \( KE \) пересекаются в серединах своих отрезков.

10. Следовательно, утверждение задачи выполнено.