ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямая \( a \) принадлежит плоскости \( \alpha \), прямая \( b \) — плоскости \( \beta \), прямая \( c \) — линия пересечения плоскостей \( \alpha \) и \( \beta \). Докажите, что если прямая \( c \) не пересекает ни одну из прямых \( a \) и \( b \), то \( a \parallel b \).

Дано: \( a \subset \alpha \), \( b \subset \beta \), \( c = \alpha \cap \beta \), \( c \cap a = \emptyset \), \( c \cap b = \emptyset \).

Докажем, что \( a \parallel b \).

Так как \( a \subset \alpha \) и \( c \subset \alpha \), а \( a \) не пересекается с \( c \), то \( a \parallel c \).

Так как \( b \subset \beta \) и \( c \subset \beta \), а \( b \) не пересекается с \( c \), то \( b \parallel c \).

Если \( a \parallel c \) и \( b \parallel c \), то \( a \parallel b \).

Ч.т.д.

1. Дано, что прямая \( a \) лежит в плоскости \( \alpha \), то есть \( a \subset \alpha \). Также прямая \( b \) лежит в плоскости \( \beta \), то есть \( b \subset \beta \). Линия пересечения этих двух плоскостей обозначена как прямая \( c = \alpha \cap \beta \).

2. Из условия известно, что прямая \( c \) не пересекается с прямой \( a \), то есть \( c \cap a = \emptyset \). Аналогично \( c \) не пересекается с прямой \( b \), то есть \( c \cap b = \emptyset \).

3. Рассмотрим плоскость \( \alpha \). В ней лежат прямые \( a \) и \( c \). Поскольку \( a \) и \( c \) не пересекаются, а обе лежат в одной плоскости, то по определению параллельности прямых в плоскости имеем \( a \parallel c \).

4. Аналогично рассмотрим плоскость \( \beta \). В ней лежат прямые \( b \) и \( c \). Они также не пересекаются, следовательно, \( b \parallel c \).

5. Теперь у нас есть две прямые \( a \) и \( b \), каждая из которых параллельна одной и той же прямой \( c \). По признаку параллельности прямых, если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

6. Следовательно, из \( a \parallel c \) и \( b \parallel c \) следует, что \( a \parallel b \).

7. Таким образом, доказано, что если прямая \( c \) является линией пересечения плоскостей \( \alpha \) и \( \beta \), и не пересекается ни с прямой \( a \subset \alpha \), ни с прямой \( b \subset \beta \), то прямые \( a \) и \( b \) параллельны.

8. Это соответствует свойству параллельности прямых в пространстве и плоскостях.

9. Итог: \( a \parallel b \).

10. Доказательство завершено.