ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямая \( a \) параллельна плоскости \( \alpha \). Через точку \( M \), лежащую в плоскости \( \alpha \), проведена прямая \( b \), параллельная прямой \( a \). Докажите, что прямая \( b \) лежит в плоскости \( \alpha \).

Дано: \(a \parallel \alpha\), \(M \in \alpha\), \(b \parallel a\), \(M \in b\). Докажем, что \(b \subset \alpha\).

Пусть \(a \parallel \alpha\). Тогда существует прямая \(c \subset \alpha\), такая что \(a \parallel c\).

Так как \(b \parallel a\), то \(b \parallel c\).

Прямая \(b\) проходит через точку \(M \in \alpha\), а прямая \(c \subset \alpha\).

По признаку параллельности прямых в плоскости, если прямая проходит через точку плоскости и параллельна прямой в этой плоскости, то она лежит в этой плоскости.

Значит \(b \subset \alpha\). Что и требовалось доказать.

1. Дано, что прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\), то есть \(a \parallel \alpha\). Это значит, что \(a\) не пересекает плоскость \(\alpha\) и не лежит в ней.

2. Пусть точка \(M\) лежит в плоскости \(\alpha\), то есть \(M \in \alpha\).

3. Через точку \(M\) проведена прямая \(b\), которая параллельна прямой \(a\), то есть \(b \parallel a\) и \(M \in b\).

4. По свойству параллельности, если прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\), то существует прямая \(c\) в плоскости \(\alpha\), такая что \(a \parallel c\).

5. Так как \(b \parallel a\) и \(a \parallel c\), то по свойству параллельности прямых в пространстве \(b \parallel c\).

6. Прямая \(b\) проходит через точку \(M \in \alpha\), а прямая \(c\) полностью лежит в плоскости \(\alpha\).

7. Если прямая проходит через точку плоскости и параллельна прямой, лежащей в этой плоскости, то она либо лежит в плоскости, либо не пересекает её.

8. Поскольку \(b\) проходит через точку \(M \in \alpha\), то \(b\) пересекает плоскость \(\alpha\).

9. Следовательно, прямая \(b\) должна лежать в плоскости \(\alpha\), то есть \(b \subset \alpha\).

10. Таким образом, доказано, что если \(a \parallel \alpha\), \(M \in \alpha\), и \(b \parallel a\), где \(b\) проходит через \(M\), то прямая \(b\) лежит в плоскости \(\alpha\).