ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.28 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Докажем, что через каждую из двух скрещивающихся прямых \(a\) и \(b\) проходит плоскость, параллельная прямой \(c\), и притом только одна.

1. Пусть \(a\) и \(b\) — скрещивающиеся прямые. Тогда существует единственная точка \(D\), не лежащая ни на \(a\), ни на \(b\), через которую можно провести плоскость с \(a\) и параллельную \(c\).

2. Через прямую \(a\) и точку \(D\) проведём плоскость \(\alpha\). Эта плоскость содержит \(a\) и параллельна \(c\).

3. Аналогично через прямую \(b\) и точку \(D\) проведём плоскость \(\beta\), которая содержит \(b\) и параллельна \(c\).

4. Если бы существовало две разные плоскости, проходящие через \(a\) и параллельные \(c\), то они пересекались бы по прямой, отличной от \(a\), что невозможно. Аналогично для \(b\).

Следовательно, через каждую из двух скрещивающихся прямых \(a\) и \(b\) проходит единственная плоскость, параллельная \(c\). Что и требовалось доказать.

1. Пусть \(a\) и \(b\) — две скрещивающиеся прямые. Это значит, что они не лежат в одной плоскости и не пересекаются.

2. Рассмотрим произвольную точку \(M\) на прямой \(a\) и произвольную точку \(N\) на прямой \(b\). Так как \(a\) и \(b\) скрещиваются, то точки \(M\) и \(N\) не лежат в одной плоскости с обеими прямыми.

3. Через точки \(M\) и \(N\) можно провести единственную плоскость, обозначим её \(\alpha\). Эта плоскость содержит прямую \(a\), так как \(M \in a\), и точку \(N\).

4. Рассмотрим прямую \(c\). Чтобы плоскость \(\alpha\) была параллельна прямой \(c\), необходимо, чтобы \(c\) не пересекала плоскость \(\alpha\).

5. Если \(c\) лежит в плоскости \(\alpha\), то она пересекает \(a\) или проходит через точку \(N\), что невозможно, так как \(a\) и \(b\) скрещиваются, а \(c\) произвольна.

6. Значит, плоскость \(\alpha\) параллельна прямой \(c\).

7. Аналогично для прямой \(b\): выберем точку \(P\) на \(b\) и точку \(Q\) на \(a\). Через них проведём плоскость \(\beta\), содержащую \(b\) и точку \(Q\).

8. Плоскость \(\beta\) будет параллельна прямой \(c\) по тем же причинам, что и \(\alpha\).

9. Докажем единственность: если бы существовало две разные плоскости, проходящие через \(a\) и параллельные \(c\), то они пересекались бы по прямой, отличной от \(a\), что невозможно.

10. Аналогично для прямой \(b\). Следовательно, через каждую из двух скрещивающихся прямых \(a\) и \(b\) проходит единственная плоскость, параллельная прямой \(c\). Что и требовалось доказать.