ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что если две данные пересекающиеся плоскости пересекают третью плоскость по параллельным прямым, то линия пересечения данных плоскостей параллельна этой третьей плоскости.

Докажем: Пусть две пересекающиеся плоскости \( \alpha \) и \( \beta \) пересекают третью плоскость \( \gamma \) по параллельным прямым \( a \) и \( b \) соответственно, то линия пересечения \( c = \alpha \cap \beta \) параллельна плоскости \( \gamma \).

Так как \( a \parallel b \) и \( a, b \subset \gamma \), то \( a \parallel b \subset \gamma \).

Линия \( c \) лежит в плоскостях \( \alpha \) и \( \beta \), и пересекает линии \( a \) и \( b \).

Если \( c \) пересекает \( \gamma \), то она должна пересечь \( a \) и \( b \) в одной точке, что невозможно, так как \( a \parallel b \).

Следовательно, \( c \parallel \gamma \).

Таким образом, линия пересечения плоскостей \( \alpha \) и \( \beta \) параллельна плоскости \( \gamma \).

1. Пусть \( \alpha \) и \( \beta \) — две пересекающиеся плоскости, и пусть \( \gamma \) — третья плоскость. Пусть линия пересечения плоскостей \( \alpha \) и \( \beta \) обозначена как \( c \), то есть \( c = \alpha \cap \beta \).

2. По условию, плоскости \( \alpha \) и \( \beta \) пересекают плоскость \( \gamma \) по прямым \( a \) и \( b \) соответственно: \( a = \alpha \cap \gamma \), \( b = \beta \cap \gamma \).

3. Из условия известно, что прямые \( a \) и \( b \) параллельны, то есть \( a \parallel b \), и обе лежат в плоскости \( \gamma \).

4. Рассмотрим линию \( c \), которая принадлежит одновременно плоскостям \( \alpha \) и \( \beta \). Линия \( c \) — это линия пересечения этих двух плоскостей.

5. Предположим, что линия \( c \) не параллельна плоскости \( \gamma \). Тогда \( c \) пересекает плоскость \( \gamma \) в некоторой точке \( O \).

6. В точке \( O \) пересекаются три плоскости: \( \alpha \), \( \beta \) и \( \gamma \). Значит, в точке \( O \) линия \( c \) пересекает плоскость \( \gamma \).

7. Но тогда линия \( c \) должна пересекать в точке \( O \) прямые \( a \) и \( b \), так как \( a \) и \( b \) лежат в плоскости \( \gamma \), а \( c \) пересекает \( \gamma \) в \( O \).

8. Однако прямые \( a \) и \( b \) параллельны и не могут пересечься в одной точке, следовательно, линия \( c \) не может пересекать плоскость \( \gamma \).

9. Из этого следует, что линия \( c \) не пересекает плоскость \( \gamma \), а значит, она параллельна плоскости \( \gamma \).

10. Таким образом, доказано, что если две пересекающиеся плоскости пересекают третью плоскость по параллельным прямым, то линия их пересечения параллельна этой третьей плоскости.