ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.30 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) плоскостью, проходящей через середины рёбер \( AB, CD \) и \( AA_1 \). Найдите периметр сечения, если \( AB = 10 \) см, \( AD = 17 \) см, \( AA_1 = 24 \) см.

Дано: \(AB = 10\), \(AD = 17\), \(AA_1 = 24\).

Найдём середины рёбер: \(K\) — середина \(AB\), \(L\) — середина \(CD\), \(M\) — середина \(AA_1\).

Тогда \(KL = 17\), \(NM = 17\) (так как \(NM = KL\)).

Вычислим \(KM = LN = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\).

Периметр сечения \(P = 2 \times (17 + 13) = 60\).

1. Пусть \( \alpha \) и \( \beta \) — две пересекающиеся плоскости, и пусть \( \gamma \) — третья плоскость. Пусть линия пересечения плоскостей \( \alpha \) и \( \beta \) обозначена как \( c \), то есть \( c = \alpha \cap \beta \).

2. По условию, плоскости \( \alpha \) и \( \beta \) пересекают плоскость \( \gamma \) по прямым \( a \) и \( b \) соответственно: \( a = \alpha \cap \gamma \), \( b = \beta \cap \gamma \).

3. Из условия известно, что прямые \( a \) и \( b \) параллельны, то есть \( a \parallel b \), и обе лежат в плоскости \( \gamma \).

4. Рассмотрим линию \( c \), которая принадлежит одновременно плоскостям \( \alpha \) и \( \beta \). Линия \( c \) — это линия пересечения этих двух плоскостей.

5. Предположим, что линия \( c \) не параллельна плоскости \( \gamma \). Тогда \( c \) пересекает плоскость \( \gamma \) в некоторой точке \( O \).

6. В точке \( O \) пересекаются три плоскости: \( \alpha \), \( \beta \) и \( \gamma \). Значит, в точке \( O \) линия \( c \) пересекает плоскость \( \gamma \).

7. Но тогда линия \( c \) должна пересекать в точке \( O \) прямые \( a \) и \( b \), так как \( a \) и \( b \) лежат в плоскости \( \gamma \), а \( c \) пересекает \( \gamma \) в \( O \).

8. Однако прямые \( a \) и \( b \) параллельны и не могут пересечься в одной точке, следовательно, линия \( c \) не может пересекать плоскость \( \gamma \).

9. Из этого следует, что линия \( c \) не пересекает плоскость \( \gamma \), а значит, она параллельна плоскости \( \gamma \).

10. Таким образом, доказано, что если две пересекающиеся плоскости пересекают третью плоскость по параллельным прямым, то линия их пересечения параллельна этой третьей плоскости.