ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На ребре \( BC \) тетраэдра \( DABC \) отметили точку \( E \) так, что \( BE : EC = 2 : 1 \). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку \( E \) параллельно прямым \( AB \) и \( CD \). Найдите периметр сечения, если \( AB = 18 \) см, \( CD = 12 \) см.

Дано: \( BE : EC = 2 : 1 \), \( AB = 18 \) см, \( CD = 12 \) см.

1. Треугольники \( \triangle BNE \sim \triangle BDC \), значит

\( \frac{BE}{BC} = \frac{NE}{DC} \Rightarrow NE = \frac{BE}{BC} \times DC = \frac{2}{3} \times 12 = 8 \) см.

2. Треугольники \( \triangle BME \sim \triangle ABD \), значит

\( ME = \frac{BE}{BC} \times AB = \frac{2}{3} \times 18 = 12 \) см.

3. Периметр сечения \( PENM = 8 + 12 + 8 = 28 \) см.

1. Пусть \( E \) — точка на ребре \( BC \), такая что \( BE : EC = 2 : 1 \). Значит, \( BC \) делится точкой \( E \) в отношении \( 2:1 \), то есть \( BE = \frac{2}{3} BC \) и \( EC = \frac{1}{3} BC \).

2. Плоскость проходит через точку \( E \) и параллельна прямым \( AB \) и \( CD \). Значит, сечение будет параллелограммом, так как две стороны сечения параллельны \( AB \) и \( CD \).

3. Обозначим точки пересечения плоскости с ребрами \( AD \) и \( AC \) как \( M \) и \( N \) соответственно.

4. Рассмотрим треугольники \( \triangle BNE \) и \( \triangle BDC \). Они подобны, так как угол при вершине \( B \) общий, а стороны \( NE \) и \( DC \) параллельны. Тогда выполняется пропорция:

\( \frac{BE}{BC} = \frac{NE}{DC} \).

Подставляем значения:

\( NE = \frac{BE}{BC} \times DC = \frac{2}{3} \times 12 = 8 \) см.

5. Аналогично рассмотрим треугольники \( \triangle BME \) и \( \triangle ABD \). Они подобны, так как угол при вершине \( B \) общий, а стороны \( ME \) и \( AB \) параллельны. Тогда:

\( ME = \frac{BE}{BC} \times AB = \frac{2}{3} \times 18 = 12 \) см.

6. Таким образом, стороны сечения \( EN = 8 \) см и \( ME = 12 \) см.

7. Поскольку сечение — параллелограмм с двумя сторонами \( 8 \) см и \( 12 \) см, периметр равен сумме всех сторон:

\( P = EN + NM + ME = 8 + 12 + 8 = 28 \) см.

8. Отрезок \( NM \) равен \( EN \) по свойству параллелограмма, поэтому \( NM = 8 \) см.

9. Итог: периметр сечения равен \( 28 \) см.

10. Ответ: периметр сечения равен \( 28 \) см.