ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.34 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На рёбрах \(AB\) и \(C_1D_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили соответственно точки \(M\) и \(K\). Постройте линию пересечения плоскостей \(AA_1K\) и \(DD_1M\). Каково взаимное расположение построенной прямой и прямой \(AA_1\)?

На рёбрах \(AB\) и \(C_1D_1\) отмечены точки \(M\) и \(K\). Плоскость \(AA_1K\) проходит через точки \(A\), \(A_1\), \(K\); плоскость \(DD_1M\) — через \(D\), \(D_1\), \(M\).

Линия пересечения этих плоскостей — прямая \(PR\), которая соединяет точки пересечения данных плоскостей на рёбрах параллелепипеда.

По построению видно, что \(PR \parallel AA_1\).

1. Пусть точки \(M\) и \(K\) отмечены соответственно на рёбрах \(AB\) и \(C_1D_1\) параллелепипеда. Требуется провести плоскости \(AA_1K\) и \(DD_1M\).

2. Плоскость \(AA_1K\) проходит через вершины \(A\), \(A_1\) и точку \(K\) на рёбре \(C_1D_1\). Плоскость \(DD_1M\) проходит через вершины \(D\), \(D_1\) и точку \(M\) на рёбре \(AB\).

3. Линия пересечения плоскостей находится как прямая, проходящая через точки пересечения этих плоскостей с рёбрами параллелепипеда.

4. Рассмотрим плоскость \(AA_1K\). Она пересекает рёбра \(AA_1\), \(A_1K\) и \(KA\). Аналогично, плоскость \(DD_1M\) пересекает рёбра \(DD_1\), \(D_1M\) и \(MD\).

5. Найдём общие точки двух плоскостей. Поскольку рёбра \(A_1B_1\) и \(D_1B_1\) лежат на верхней грани параллелепипеда, а точки \(A_1\) и \(D_1\) принадлежат разным плоскостям, их общая точка — \(B_1\).

6. Аналогично, рёбра \(AD\) и \(AB\) лежат на нижней грани, их общая точка — \(A\).

7. Значит, линия пересечения плоскостей — прямая, проходящая через точки \(B_1\) и \(A\).

8. Прямая \(PR\) соединяет эти две точки и представляет собой линию пересечения плоскостей \(AA_1K\) и \(DD_1M\).

9. Из геометрии параллелепипеда видно, что прямая \(PR\) параллельна ребру \(AA_1\).

10. Следовательно, \(PR \parallel AA_1\).