ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.36 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \(E\) и \(F\) — середины соответственно рёбер \(AD\) и \(CD\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через прямую \(EF\) параллельно прямой \(B_1D\).

Плоскость проходит через точки \(E\) и \(F\), а также параллельна прямой \(B_1D\). Через \(E\) и \(F\) проводим прямые, параллельные \(B_1D\), получаем точки \(E_1\) на ребре \(A_1D_1\) и \(F_1\) на ребре \(C_1D_1\). Далее соединяем \(E_1\) и \(F_1\) с точками \(B_1\) и \(C_1\) соответственно, получая сечение через точки \(E, F, E_1, F_1, B_1, C_1\).

Сечение — шестиугольник \(E, F, F_1, C_1, B_1, E_1\).

1. Пусть куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром \(a\). Обозначим координаты вершин: \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C(a,a,0)\), \(D(0,a,0)\), \(A_1(0,0,a)\), \(B_1(a,0,a)\), \(C_1(a,a,a)\), \(D_1(0,a,a)\).

2. Точка \(E\) — середина ребра \(AD\), значит её координаты \(E(0,\frac{a}{2},0)\).

3. Точка \(F\) — середина ребра \(CD\), значит её координаты \(F(a,\frac{a}{2},0)\).

4. Прямая \(EF\) лежит в плоскости основания \(z=0\) и проходит через точки \(E\) и \(F\).

5. Прямая \(B_1D\) соединяет точки \(B_1(a,0,a)\) и \(D(0,a,0)\). Направляющий вектор этой прямой: \(\vec{v} = (-a,a,-a)\).

6. Через точку \(E\) проведём прямую, параллельную \(B_1D\): \(E_1(0,\frac{a}{2},0) + t\cdot(-a,a,-a)\). Найдём пересечение этой прямой с ребром \(A_1D_1\) (точки \(A_1(0,0,a)\), \(D_1(0,a,a)\)). Параметрическое уравнение ребра \(A_1D_1\): \((0,y,a)\), где \(0 \leq y \leq a\).

7. Приравняем координаты по \(x\) и \(z\): \(0 + t\cdot(-a) = 0\), \(0 + t\cdot(-a) = a\). Из первого уравнения \(t=0\), из второго \(t=-1\), но при \(t=0\) получаем точку \(E\), а при \(t=-1\) — \((a,\frac{a}{2}-a,a)\), что не принадлежит ребру \(A_1D_1\). Найдём пересечение с плоскостью \(z=a\): \(0 + t\cdot(-a) = a\), \(t=-1\). Подставим: \(x=0+a= a\), \(y=\frac{a}{2}-a=-\frac{a}{2}\), \(z=0+a=a\). Эта точка не принадлежит ни одному ребру куба. Значит, пересечение будет с ребром \(A_1B_1\) или \(D_1C_1\).

8. Аналогично строим через точку \(F\) прямую, параллельную \(B_1D\): \(F(a,\frac{a}{2},0) + t\cdot(-a,a,-a)\). Найдём пересечение с верхним основанием \(z=a\): \(0 + t\cdot(-a) = a\), \(t=-1\). Подставим: \(x=a-a=0\), \(y=\frac{a}{2}+a=\frac{3a}{2}\), \(z=0+a=a\). Эта точка также не принадлежит граням куба, но лежит на продолжении.

9. Плоскость, проходящая через \(EF\) и параллельная \(B_1D\), пересечёт рёбра верхнего основания \(A_1B_1\), \(B_1C_1\), \(C_1D_1\), а также рёбра \(AD\) и \(CD\) в точках \(E\) и \(F\).

10. Таким образом, сечение проходит через точки \(E(0,\frac{a}{2},0)\), \(F(a,\frac{a}{2},0)\), \(M_1\) на \(A_1B_1\), \(M_2\) на \(B_1C_1\), \(M_3\) на \(C_1D_1\), и \(N_1\) на \(D_1A_1\). Точные координаты этих точек находятся из пересечения плоскости с соответствующими рёбрами, но сечение всегда будет шестиугольником.