ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.37 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) — середина ребра \(CC_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки \(D\) и \(M\) параллельно прямой \(AC_1\).

Плоскость проходит через точки \(D\) и \(M\) параллельно прямой \(AC_1\). Через точку \(D\) проводим прямую, параллельную \(AC_1\), она пересекает ребро \(DD_1\) в точке \(N\). Через точку \(M\) проводим прямую, параллельную \(AC_1\), она пересекает ребро \(B_1C_1\) в точке \(M_1\).

Сечение куба — четырёхугольник \(D N M M_1\).

1. Обозначим вершины куба: \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C(a,a,0)\), \(D(0,a,0)\), \(A_1(0,0,a)\), \(B_1(a,0,a)\), \(C_1(a,a,a)\), \(D_1(0,a,a)\).

2. Точка \(M\) — середина ребра \(CC_1\), её координаты: \(M\left(a,a,\frac{a}{2}\right)\).

3. Прямая \(AC_1\) проходит через точки \(A(0,0,0)\) и \(C_1(a,a,a)\), её направляющий вектор: \((a,a,a)\).

4. Проведём через \(D(0,a,0)\) прямую, параллельную \(AC_1\). Её уравнение: \(r_1 = (0,a,0) + t(a,a,a)\).

5. Эта прямая пересекает ребро \(DD_1\) (\(D(0,a,0)\), \(D_1(0,a,a)\)), где \(x=0\), \(y=a\), \(z\) меняется от \(0\) до \(a\).

6. Подставляем \(x=0\), \(y=a\) в уравнение прямой: \(0 = 0 + t a\), \(a = a + t a\). Получаем \(t=0\), значит точка пересечения — \(D\). Далее найдём вторую точку пересечения, когда \(z=a\): \(z=0+t a=a \Rightarrow t=1\). Точка \(N(0+a, a+a, 0+a) = (a,2a,a)\), но \(y=2a\) вне куба, значит реальная точка пересечения — только \(D\).

7. Через \(M\left(a,a,\frac{a}{2}\right)\) проводим прямую, параллельную \(AC_1\): \(r_2 = \left(a,a,\frac{a}{2}\right) + s(a,a,a)\).

8. Она пересекает ребро \(B_1C_1\) (\(B_1(a,0,a)\), \(C_1(a,a,a)\)), где \(z=a\), \(x=a\), \(y\) меняется от \(0\) до \(a\).

9. Подставляем \(x=a\), \(z=a\) в уравнение: \(a=a+s a\), \(z=\frac{a}{2}+s a=a\). Получаем \(s=\frac{1}{2}\). Тогда \(y=a+s a=a+\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}\), но \(y\) вне куба, значит точка пересечения — только \(M\).

10. Таким образом, сечение проходит через точки \(D(0,a,0)\), \(M\left(a,a,\frac{a}{2}\right)\), а также через точки пересечения этих прямых с рёбрами куба, которые можно найти аналогично с помощью параметрических уравнений. Ответ: четырёхугольник с вершинами \(D\), \(M\), \(N\), \(M_1\), где \(N\) и \(M_1\) — найденные точки пересечения на рёбрах \(DD_1\) и \(B_1C_1\).