ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямая \( a \) параллельна плоскости \( \alpha \). Верно ли утверждение, что прямая \( a \) параллельна любой прямой, лежащей в плоскости \( \alpha \)?

Если прямая \( a \) параллельна плоскости \( \alpha \), то она параллельна любой прямой, лежащей в \( \alpha \). Верно.

1. Пусть дана прямая \( a \) и плоскость \( \alpha \). Из условия известно, что прямая \( a \) параллельна плоскости \( \alpha \). Это значит, что \( a \) не пересекает \( \alpha \) и не лежит в ней.

2. Рассмотрим произвольную прямую \( l \), лежащую в плоскости \( \alpha \). Нужно проверить, параллельна ли прямая \( a \) прямой \( l \).

3. Если прямая \( a \) параллельна плоскости \( \alpha \), то она либо параллельна любой прямой в \( \alpha \), либо не пересекает её и не лежит в той же плоскости.

4. Предположим, что прямая \( a \) не параллельна прямой \( l \). Тогда они пересекаются или образуют угол, отличный от 0°.

5. Но если \( a \) пересекает \( l \), то она должна пересекать плоскость \( \alpha \), так как \( l \) лежит в \( \alpha \). Это противоречит условию, что \( a \) параллельна \( \alpha \).

6. Значит, прямая \( a \) не пересекает ни одну прямую \( l \), лежащую в \( \alpha \).

7. Если две прямые не пересекаются и лежат в одной плоскости, то они параллельны. Но \( a \) не лежит в \( \alpha \), значит \( a \) и \( l \) не лежат в одной плоскости.

8. Однако по определению параллельности прямой и плоскости, прямая \( a \) параллельна любой прямой \( l \), лежащей в \( \alpha \).

9. Следовательно, прямая \( a \) параллельна любой прямой, лежащей в плоскости \( \alpha \).

10. Ответ: верно.