ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.40 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Точка \(O\) — центр квадрата \(ABCD\), точка \(O_1\) — центр квадрата \(A_1B_1C_1D_1\), точка \(E\) — середина ребра \(AD\), точка \(F\) — середина ребра \(CD\), точка \(M\) — середина отрезка \(OO_1\). Постройте сечение куба плоскостью \(EMF\).сечение куба плоскостью \(EFK\).

Плоскость проходит через точки \(E\), \(M\), \(F\). Чтобы построить сечение, отметим:

Точки \(E\) и \(F\) — середины рёбер \(AD\) и \(CD\) соответственно, а \(M\) — середина отрезка \(OO_1\), соединяющего центры оснований.

Плоскость \(EMF\) пересекает рёбра \(A_1D_1\) и \(B_1C_1\) в точках \(K\) и \(N\).

Сечение — четырёхугольник \(KNFE\), где \(K\) и \(N\) лежат на верхнем основании, \(E\) и \(F\) — на нижнем.

Пусть \(E\), \(F\), \(K\) — середины рёбер \(AD\), \(A_1B_1\), \(CC_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Через три точки можно провести единственную плоскость. Эта плоскость пересекает ещё три рёбра куба, образуя сечение в виде шестиугольника.

Вершины сечения: \(P\) (на ребре \(B_1C_1\)), \(K\) (середина \(CC_1\)), \(S\) (на ребре \(CD\)), \(E\) (середина \(AD\)), \(R\) (на ребре \(AB\)), \(F\) (середина \(A_1B_1\)).

Ответ: сечение куба плоскостью \(EFK\) — это шестиугольник \(PKSERF\).

1. Пусть куб имеет вершины \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(D(0,1,0)\), \(A_1(0,0,1)\), \(B_1(1,0,1)\), \(C_1(1,1,1)\), \(D_1(0,1,1)\).

2. Точка \(E\) — середина ребра \(AD\): координаты \(E(0, \frac{1}{2}, 0)\).

3. Точка \(F\) — середина ребра \(CD\): координаты \(F(1, \frac{1}{2}, 0)\).

4. Центр нижнего основания \(O(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)\), центр верхнего основания \(O_1(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1)\).

5. Точка \(M\) — середина отрезка \(OO_1\): координаты \(M(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})\).

6. Найдём уравнение плоскости, проходящей через точки \(E\), \(F\), \(M\). Пусть уравнение плоскости: \(ax + by + cz = d\).

7. Подставим координаты:
Для \(E\): \(a \cdot 0 + b \cdot \frac{1}{2} + c \cdot 0 = d\),
Для \(F\): \(a \cdot 1 + b \cdot \frac{1}{2} + c \cdot 0 = d\),
Для \(M\): \(a \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \frac{1}{2} + c \cdot \frac{1}{2} = d\).

8. Из первых двух уравнений: \(b \cdot \frac{1}{2} = d\), \(a + b \cdot \frac{1}{2} = d\) \(\Rightarrow a = 0\).

9. Подставим в третье: \(0 + b \cdot \frac{1}{2} + c \cdot \frac{1}{2} = d\), а \(d = b \cdot \frac{1}{2}\) \(\Rightarrow c = 0\).

10. Значит, уравнение плоскости: \(y = \frac{1}{2}\).

11. Эта плоскость пересекает рёбра \(A_1D_1\) и \(B_1C_1\).

12. Рёбра \(A_1D_1\): \(A_1(0,0,1)\), \(D_1(0,1,1)\). Точка пересечения \(K\) имеет координаты \(K(0, \frac{1}{2}, 1)\).

13. Рёбра \(B_1C_1\): \(B_1(1,0,1)\), \(C_1(1,1,1)\). Точка пересечения \(N(1, \frac{1}{2}, 1)\).

14. Таким образом, сечение — четырёхугольник с вершинами \(E(0, \frac{1}{2}, 0)\), \(F(1, \frac{1}{2}, 0)\), \(K(0, \frac{1}{2}, 1)\), \(N(1, \frac{1}{2}, 1)\).

15. Ответ: сечение куба плоскостью \(EMF\) — четырёхугольник \(KNFE\).