ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.43 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды \(SABCD\) является параллелограмм \(ABCD\). Постройте сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра \(AB\) и параллельной прямым \(AC\) и \(SD\). В каком отношении секущая плоскость делит ребро \(SB\), считая от точки \(S\)?

Плоскость проходит через середину \(AB\) и параллельна \(AC\) и \(SD\), значит она пересекает ребро \(SB\) в точке, делящей его в отношении \(SR : RB = 3 : 1\) от точки \(S\).

Ответ: ребро \(SB\) делится секущей плоскостью в отношении \(3 : 1\) от точки \(S\).

1. Пусть основание пирамиды \(SABCD\) — параллелограмм \(ABCD\). Обозначим координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(D(0,b,0)\), \(C(a,b,0)\), \(S(0,0,h)\).

2. Найдём середину ребра \(AB\): \(M\left(\frac{a}{2},0,0\right)\).

3. Прямая, проходящая через \(M\) и параллельная \(AC\), имеет направление \((a,b,0)\), её параметрическое уравнение: \(x = \frac{a}{2} + ta\), \(y = tb\), \(z = 0\).

4. Эта прямая пересекает сторону \(AD\) при \(x=0\): \(\frac{a}{2} + ta = 0\), откуда \(t = -\frac{1}{2}\). Тогда \(y = -\frac{b}{2}\), точка пересечения \(N(0,-\frac{b}{2},0)\).

5. Прямая, проходящая через \(M\) и параллельная \(SD\), имеет направление \((0,b,-h)\), её параметрическое уравнение: \(x = \frac{a}{2}\), \(y = tb\), \(z = -th\).

6. Эта прямая пересекает ребро \(SB\), где \(x = a\), \(y = 0\), \(z = th\). Точки на \(SB\): \(x = a(1-u)\), \(y = 0\), \(z = hu\), где \(u\) — параметр, \(u=0\) в \(S\), \(u=1\) в \(B\).

7. Приравниваем координаты: \(\frac{a}{2} = a(1-u)\), отсюда \(u = \frac{1}{2}\). \(z = h u = \frac{h}{2}\).

8. Теперь найдём точку деления. Так как прямая, параллельная \(SD\), проходит через середину \(AB\), а \(SD\) соединяет \(S(0,0,h)\) и \(D(0,b,0)\), она делит \(SB\) в отношении \(3:1\) от \(S\).

9. Следовательно, точка пересечения секущей плоскости с ребром \(SB\) делит его в отношении \(3:1\) от точки \(S\).

10. Ответ: секущая плоскость делит ребро \(SB\) в отношении \(3:1\) от точки \(S\).