ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.44 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Постройте сечение куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскостью, проходящей через середину ребра \(AB\) и параллельной прямым \(A_1C_1\) и \(BD_1\). В каком отношении секущая плоскость делит отрезок \(DB_1\), считая от точки \(D\)?

Пусть \(M\) — середина ребра \(AB\). Плоскость проходит через \(M\) и параллельна прямым \(A_1C_1\) и \(BD_1\). Поскольку \(A_1C_1\) и \(BD_1\) пересекаются в точке \(K\) на ребре \(BB_1\), а также на ребре \(DD_1\) в точке \(N\), секущая плоскость пересечёт диагональ \(DB_1\).

Так как \(M\) — середина \(AB\), а плоскость параллельна диагоналям верхнего и нижнего основания, она делит диагональ \(DB_1\) в отношении \(3:5\) от точки \(D\), считая от \(D\) к \(B_1\).

Ответ: плоскость делит отрезок \(DB_1\) в отношении \(3:5\) от точки \(D\).

1. Пусть куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром \(a\). Точка \(M\) — середина ребра \(AB\), её координаты: \(M\left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)\).

2. Прямые \(A_1C_1\) и \(BD_1\) параллельны, их направления: \(A_1C_1\) — вдоль диагонали верхнего основания, \(BD_1\) — вдоль диагонали боковой грани.

3. Плоскость проходит через точку \(M\) и параллельна этим двум прямым. Найдём её уравнение. Пусть \(A_1(0,0,a)\), \(C_1(a,a,a)\), тогда направляющий вектор \(A_1C_1\): \((a,a,0)\). Для \(BD_1\): \(B(a,0,0)\), \(D_1(0,a,a)\), направляющий вектор \(BD_1\): \((-a,a,a)\).

4. Векторное произведение этих направляющих даст нормаль плоскости: \((a,a,0) \times (-a,a,a) = (a^2, -a^2, 2a^2)\), нормаль можно записать как \((1, -1, 2)\).

5. Уравнение плоскости: \(x — y + 2z = d\). Подставим координаты точки \(M\): \(\frac{a}{2} — 0 + 2 \cdot 0 = d\), значит \(d = \frac{a}{2}\). Итоговое уравнение: \(x — y + 2z = \frac{a}{2}\).

6. Найдём точку пересечения этой плоскости с диагональю \(DB_1\). \(D(0,a,0)\), \(B_1(a,0,a)\). Параметрическое уравнение: \(D + t(B_1 — D) = (0,a,0) + t(a, -a, a)\).

7. Подставим координаты в уравнение плоскости:
\((0 + ta) — (a — ta) + 2(0 + ta) = \frac{a}{2}\)

\(ta — a + ta + 2ta = \frac{a}{2}\)

\(ta + ta + 2ta — a = \frac{a}{2}\)

\(4ta — a = \frac{a}{2}\)

\(4ta = a + \frac{a}{2} = \frac{3a}{2}\)

\(t = \frac{3a}{8a} = \frac{3}{8}\)

8. Значит, точка пересечения делит отрезок \(DB_1\) в отношении \(t : 1-t = \frac{3}{8} : \frac{5}{8} = 3:5\) от точки \(D\).

9. Ответ: секущая плоскость делит отрезок \(DB_1\) в отношении \(3:5\) от точки \(D\).