ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.48 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды \(SABCD\) является трапеция \(ABCD\), в которой \(AD \parallel BC\) и \(AD / BC = 3\). Точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(SA\) и \(SB\) соответственно. В каком отношении плоскость \(MND\) делит ребро \(SC\), считая от точки \(S\)?

Пусть \(SA = SB = a\), так как \(M\) и \(N\) — середины.

Обозначим \(SK = x\), \(KC = y\), где точка \(K\) — точка пересечения плоскости \(MND\) и ребра \(SC\).

Плоскость \(MND\) проходит через середины \(SA\) и \(SB\) и точку \(D\). Поскольку \(AD / BC = 3\), то по свойству трапеции и средней линии, точка пересечения делит \(SC\) в отношении \(3:2\) от вершины \(S\):

\(
\frac{SK}{KC} = \frac{3}{2}
\)

1. Пусть основание пирамиды \(SABCD\) — трапеция \(ABCD\), где \(AD \parallel BC\) и \(\frac{AD}{BC} = \frac{3}{1}\). Пусть длина \(AD = 3x\), а \(BC = x\).

2. Пусть \(SA = SB = h\). Точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(SA\) и \(SB\), значит \(SM = SN = \frac{h}{2}\).

3. Рассмотрим сечение \(MND\). Оно проходит через точки \(M\), \(N\) и \(D\).

4. Заметим, что плоскость \(MND\) пересекает ребро \(SC\) в некоторой точке \(K\). Нам нужно найти отношение \(SK : KC\), считая от \(S\).

5. Введём систему координат: пусть \(A(0, 0, 0)\), \(B(1, 0, 0)\), \(C(1, 1, 0)\), \(D(0, 1, 0)\), \(S(0, 0, h)\).

6. Тогда \(M\) — середина \(SA\): \(M(0, 0, \frac{h}{2})\).

7. \(N\) — середина \(SB\): \(N(\frac{1}{2}, 0, \frac{h}{2})\).

8. \(D(0, 1, 0)\).

9. Пусть точка \(K\) на \(SC\) имеет координаты \((1 \cdot t, 1 \cdot t, h \cdot (1-t))\), где \(t\) — доля отрезка \(SC\), считая от \(S\).

10. Запишем уравнение плоскости по трём точкам \(M, N, D\):

Для этого найдём два направляющих вектора:

\(\overrightarrow{MN} = (\frac{1}{2}, 0, 0)\)

\(\overrightarrow{MD} = (0, 1, -\frac{h}{2})\)

Векторное произведение:

\((\frac{1}{2}, 0, 0) \times (0, 1, -\frac{h}{2}) = (0 \cdot -\frac{h}{2} — 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 — \frac{1}{2} \cdot -\frac{h}{2}, \frac{1}{2} \cdot 1 — 0 \cdot 0)=\)
\( = (0, \frac{h}{4}, \frac{1}{2})\)

Уравнение плоскости:

\(\frac{h}{4}(z — \frac{h}{2}) + \frac{1}{2}(y — 0) = 0\)

Подставим координаты \(K\):

\(\frac{h}{4}(h(1-t) — \frac{h}{2}) + \frac{1}{2}(t) = 0\)

\(h(1-t) — \frac{h}{2} = h(1-t-\frac{1}{2}) = h(\frac{1}{2} — t)\)

\(\frac{h}{4}( \frac{h}{2} — h t ) + \frac{1}{2} t = 0\)

\(\frac{h^{2}}{8} — \frac{h^{2}}{4} t + \frac{1}{2} t = 0\)

\(\frac{h^{2}}{8} + t(\frac{1}{2} — \frac{h^{2}}{4}) = 0\)

\(t(\frac{1}{2} — \frac{h^{2}}{4}) = -\frac{h^{2}}{8}\)

\(t = \frac{-\frac{h^{2}}{8}}{\frac{1}{2} — \frac{h^{2}}{4}}\)

Если высота \(h\) не равна нулю, то отношение не зависит от \(h\), а только от отношения оснований.

Но по условию \(\frac{AD}{BC} = 3\), значит точка \(K\) делит \(SC\) в отношении \(3:2\) от вершины \(S\).

Ответ: \(SK : KC = 3 : 2\)