ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.5 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны прямые \( a \) и \( b \) и плоскость \( \alpha \). Верно ли утверждение:

1) если \( a \parallel \alpha \) и \( b \parallel \alpha \), то \( a \parallel b \);

2) если \( a \parallel b \) и \( b \parallel \alpha \), то \( a \parallel \alpha \);

3) если \( a \parallel b \) и \( b \perp \alpha \), то \( a \perp \alpha \)?

1) Если \(a \parallel \alpha\) и \(b \parallel \alpha\), то прямые \(a\) и \(b\) лежат в плоскостях, параллельных \(\alpha\). Значит, они параллельны, то есть \(a \parallel b\). Верно.

2) Если \(a \parallel b\) и \(b \parallel \alpha\), то \(a\) может быть наклонена к \(\alpha\) и пересекать её, значит \(a \parallel \alpha\) не обязательно. Неверно.

3) Если \(a \parallel b\) и \(b \perp \alpha\), то \(a\) параллельна \(b\), а \(b\) перпендикулярна \(\alpha\), значит и \(a \perp \alpha\). Верно.

1) Пусть прямые \(a\) и \(b\) параллельны плоскости \(\alpha\). Это значит, что каждая из них лежит в некоторой плоскости, которая параллельна плоскости \(\alpha\). Если две прямые лежат в одной плоскости, они либо параллельны, либо пересекаются. Но так как обе прямые параллельны одной и той же плоскости \(\alpha\), то эти плоскости параллельны, и прямые не могут пересекаться. Следовательно, прямые \(a\) и \(b\) параллельны, то есть \(a \parallel b\). Значит, утверждение 1 верно.

2) Пусть \(a \parallel b\), а \(b \parallel \alpha\). Прямая \(b\) лежит в плоскости, параллельной \(\alpha\), или не пересекает \(\alpha\). Но прямая \(a\), хотя и параллельна \(b\), может быть расположена в пространстве так, что пересекает плоскость \(\alpha\). Значит, из этих условий нельзя однозначно утверждать, что \(a \parallel \alpha\). Следовательно, утверждение 2 неверно.

3) Пусть \(a \parallel b\), а \(b \perp \alpha\). Прямая \(b\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\), значит она образует с любой прямой, лежащей в \(\alpha\), угол 90°. Если \(a\) параллельна \(b\), то угол между \(a\) и любой прямой в \(\alpha\) такой же, то есть 90°. Следовательно, \(a \perp \alpha\). Значит, утверждение 3 верно.