ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.50 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды \(SABCDEF\) является шестиугольник \(ABCDEF\). На рёбрах \(SA\) и \(SE\) отметили соответственно точки \(M\) и \(N\) (рис. 5.32). Известно, что \(\frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SE}\). Постройте сечение пирамиды плоскостью \(CMN\).

Плоскость проходит через точки \(C\), \(M\), \(N\).

1. Отметим точки \(M\) на \(SA\) и \(N\) на \(SE\) так, чтобы \(\frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SE}\).
2. Соединим \(C\) с \(M\) и \(N\).
3. Продлим \(CM\) до пересечения с ребром \(SB\) — получим точку \(Q\).
4. Продлим \(CN\) до пересечения с ребром \(SF\) — получим точку \(P\).
5. Соединим \(M\) с \(N\), \(Q\) с \(P\), а также \(Q\) с \(M\) и \(P\) с \(N\).

Сечением является четырёхугольник \(CMNPQ\).

1. Пусть вершины куба обозначены так: \(S\) — верхняя вершина, \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) — вершины верхней грани, \(E\), \(F\), \(G\), \(H\) — вершины нижней грани, причем \(SA\), \(SB\), \(SC\), \(SD\) — рёбра, и \(SE\), \(SF\), \(SG\), \(SH\) — рёбра, идущие вниз.

2. Пусть точка \(M\) делит ребро \(SA\) в отношении \(k:1-k\), то есть \(SM = k \cdot SA\), где \(0 < k < 1\).

3. Аналогично, точка \(N\) делит ребро \(SE\) в том же отношении: \(SN = k \cdot SE\).

4. Введём координаты: пусть \(S(0,0,1)\), \(A(1,0,1)\), \(B(1,1,1)\), \(C(0,1,1)\), \(E(0,0,0)\), \(F(1,0,0)\), \(G(1,1,0)\), \(H(0,1,0)\).

5. Тогда координаты точки \(M\): \(M = (k,0,1)\).

6. Координаты точки \(N\): \(N = (0,0,1-k)\).

7. Точка \(C\) имеет координаты \((0,1,1)\).

8. Плоскость проходит через точки \(C(0,1,1)\), \(M(k,0,1)\), \(N(0,0,1-k)\). Составим уравнение плоскости по трем точкам. Пусть точка плоскости \(X(x,y,z)\).

9. Вектор \(CM = (k, -1, 0)\), вектор \(CN = (0, -1, -k)\). Найдём нормальный вектор через векторное произведение:
\((k, -1, 0) \times (0, -1, -k) = \left| \begin{array}{ccc} i & j & k \\ k & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -k \end{array} \right|\)
Вычисляем:
\(i: (-1)\cdot(-k) — 0\cdot(-1) = k\)
\(j: -[k\cdot(-k) — 0\cdot0] = k^2\)
\(k: k\cdot(-1) — (-1)\cdot0 = -k\)
Итак, нормальный вектор: \((k, k^2, -k)\).

10. Уравнение плоскости: \(k(x-0) + k^2(y-1) — k(z-1) = 0\), или \(kx + k^2y — k^2 — kz + k = 0\), упрощаем: \(kx + k^2y — kz + k(1 — k) = 0\).

11. Теперь найдём точки пересечения с ребром \(SB\): \(S(0,0,1)\), \(B(1,1,1)\). Параметрически: \(Q = (t, t, 1)\), где \(t\) от 0 до 1.

12. Подставляем в уравнение плоскости: \(k t + k^2 t — k \cdot 1 + k(1-k) = 0\), \(t(k + k^2) — k + k — k^2 = 0\), \(t(k + k^2) = k^2\), \(t = \frac{k^2}{k + k^2} = \frac{k}{1 + k}\).

13. Значит, координаты точки \(Q\): \(Q(\frac{k}{1+k}, \frac{k}{1+k}, 1)\).

14. Аналогично для точки \(P\) на ребре \(SF\): \(S(0,0,1)\), \(F(1,0,0)\). Параметрически: \(P = (t, 0, 1-t)\), \(t\) от 0 до 1.

15. Подставляем в уравнение плоскости: \(k t + k^2 \cdot 0 — k(1 — t) + k(1-k) = 0\), \(k t — k(1 — t) + k(1-k) = 0\), \(k t — k + k t + k — k^2 = 0\), \(2k t — k^2 = 0\), \(t = \frac{k^2}{2k} = \frac{k}{2}\).

16. Значит, координаты точки \(P\): \(P(\frac{k}{2}, 0, 1 — \frac{k}{2})\).

17. Таким образом, сечение — четырёхугольник с вершинами: \(C(0,1,1)\), \(M(k,0,1)\), \(N(0,0,1-k)\), \(P(\frac{k}{2}, 0, 1 — \frac{k}{2})\), \(Q(\frac{k}{1+k}, \frac{k}{1+k}, 1)\).