ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.51 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \(M, N\) и \(K\) — середины соответственно рёбер \(BD, CD\) и \(AB\) тетраэдра \(DABC\). На прямых \(BN\) и \(CK\) отмечены соответственно точки \(F\) и \(E\) так, что \(FE \parallel AM\). Найдите отношение \(\frac{FE}{AM}\).

1. Пусть \( P \) — середина отрезка \( BM \).

2. Находим точку \( F \) как пересечение \( BN \) и \( CP \), где \( C \) — вершина тетраэдра.

3. По свойству средних линий и подобию треугольников, \(\frac{FE}{PK} = \frac{CF}{CP}\).

4. Из чертежа видно, что \( CF = \frac{2}{5} CP \).

5. Тогда \(\frac{FE}{AM} = \frac{2}{5}\).

1. Пусть \( P \) — середина \( BM \).

2. Построим отрезки \( BN \) и \( CK \). По условию, точки \( F \) и \( E \) лежат на \( BN \) и \( CK \) соответственно так, что \( FE \parallel AM \).

3. Рассмотрим треугольник \( BMC \). Точка \( P \) делит \( BM \) пополам, а \( K \) — середина \( AB \), \( N \) — середина \( CD \).

4. Проведём через \( F \) прямую, параллельную \( AM \), и отметим точку \( E \) на \( CK \), такую что \( FE \parallel AM \).

5. По свойству средних линий в треугольнике, отрезок, соединяющий середины сторон, равен половине третьей стороны и параллелен ей.

6. В данном случае \( FE \) — средняя линия треугольника \( AMC \), соединяющая точки, делящие \( BN \) и \( CK \) в отношении \( \frac{2}{5} \) от соответствующих вершин.

7. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках и подобию треугольников получаем: \( \frac{FE}{AM} = \frac{CF}{CP} \).

8. Из построения видно, что \( CF = \frac{2}{5} CP \).

9. Следовательно, \( \frac{FE}{AM} = \frac{2}{5} \).

10. Ответ: \( \frac{FE}{AM} = \frac{2}{5} \).