Учебник «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского и В.Б. Полонского предназначен для школьников, стремящихся к глубокому освоению геометрии и подготовке к профильным экзаменам. Издание полностью соответствует современным образовательным стандартам и охватывает расширенный курс геометрии для 10 класса, позволяя развивать аналитические и пространственные навыки на высоком уровне.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.52 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы
В тетраэдре \(DABC\) проведены медианы \(AM\) и \(BN\) соответственно граней \(ABC\) и \(ADB\). На прямых \(AM\) и \(BN\) отметили точки \(P\) и \(Q\) соответственно так, что \(PQ \parallel CD\). Найдите отношение \(\frac{PQ}{CD}\).
Поскольку \(PQ \parallel CD\) и точки \(P\) и \(Q\) делят медианы \(AM\) и \(BN\) в отношении \(1:3\), то по свойству подобных треугольников и медиан:
\(\frac{PQ}{CD} = \frac{1}{3}\)
1. Пусть \(M\) — середина \(BC\), \(N\) — середина \(DB\). Тогда \(AM\) и \(BN\) — медианы граней \(ABC\) и \(ADB\) соответственно.
2. Пусть точка \(P\) делит медиану \(AM\) в отношении \(1:2\) считая от вершины \(A\), а точка \(Q\) делит медиану \(BN\) в отношении \(1:2\) считая от вершины \(B\). Так как \(PQ \parallel CD\), то треугольники \(APQ\) и \(ACD\) подобны.
3. По свойству подобных треугольников, отношение соответствующих отрезков равно коэффициенту подобия. Так как \(P\) и \(Q\) делят медианы в отношении \(1:2\), то коэффициент подобия равен \(\frac{AP}{AM} = \frac{BQ}{BN} = \frac{1}{3}\).
4. Следовательно, \(\frac{PQ}{CD} = \frac{1}{3}\).
5. Ответ: \(PQ : CD = 1 : 3\).
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!