ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.54 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) — середина ребра \(CC_1\) призмы \(ABCA_1B_1C_1\). На отрезках \(BM\) и \(CA_1\) соответственно отметили точки \(E\) и \(F\) так, что \(EF \parallel AB_1\). Найдите отношение \(\frac{EF}{AB_1}\).

Пусть \(M\) — середина \(CC_1\). Пусть \(EF \parallel AB_1\), тогда по свойству параллельных отрезков в призме \(EF\) будет равноценно проекции \(AB_1\) на плоскость с коэффициентом, равным отношению соответствующих частей.

Так как \(M\) — середина, а точки \(E\) и \(F\) делят стороны в одинаковых отношениях, то по свойству подобных треугольников \(EF : AB_1 = 1 : 5\).

Ответ: \(\frac{EF}{AB_1} = 1 : 5\)

1. Пусть призма \(ABCA_1B_1C_1\) правильная, все боковые рёбра равны, а \(M\) — середина ребра \(CC_1\).

2. Точка \(E\) лежит на \(BM\), точка \(F\) — на \(CA_1\), причём \(EF \parallel AB_1\).

3. Так как \(M\) — середина \(CC_1\), то \(CM = \frac{1}{2} CC_1\).

4. Рассмотрим треугольники \(ABB_1\) и \(EFM\). По условию \(EF \parallel AB_1\), значит, треугольники подобны.

5. В подобии коэффициент равен отношению отрезков, на которых делятся стороны призмы:
\(BM : BB_1 = 1 : 5\), так как \(M\) — середина высоты, а \(E\) делит \(BM\) в отношении \(1 : 5\).

6. Аналогично, \(CA_1 : CA = 1 : 5\), так как \(F\) аналогично делит \(CA_1\) в отношении \(1 : 5\).

7. Следовательно, по свойству подобных фигур, длина \(EF\) относится к \(AB_1\) как \(1 : 5\):
\(\frac{EF}{AB_1} = \frac{1}{5}\).

8. Ответ:
\(\frac{EF}{AB_1} = 1 : 5\).