Учебник «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского и В.Б. Полонского предназначен для школьников, стремящихся к глубокому освоению геометрии и подготовке к профильным экзаменам. Издание полностью соответствует современным образовательным стандартам и охватывает расширенный курс геометрии для 10 класса, позволяя развивать аналитические и пространственные навыки на высоком уровне.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.55 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) катет \(BC\) равен \(7\) см, а радиус описанной окружности — \(9\) см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины острого угла \(B\).
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с катетом \(BC = 7\) см и радиусом описанной окружности \(R = 9\) см, гипотенуза \(AB = 2R = 18\) см.
Второй катет: \(AC = \sqrt{AB^2 — BC^2} = \sqrt{324 — 49} = \sqrt{275} = 5\sqrt{11}\) см.
Обозначим \(AB_1 = x\), \(CB_1 = 5\sqrt{11} — x\). По свойству биссектрисы: \(\frac{x}{5\sqrt{11} — x} = \frac{18}{7}\).
Решая пропорцию: \(7x = 18(5\sqrt{11} — x)\), \(7x = 90\sqrt{11} — 18x\), \(25x = 90\sqrt{11}\), \(x = \frac{90\sqrt{11}}{25} = 3,6\sqrt{11}\) см.
Тогда \(CB_1 = 5\sqrt{11} — 3,6\sqrt{11} = 1,4\sqrt{11}\) см.
Длина биссектрисы по теореме Пифагора: \(BB_1 = \sqrt{(3,6\sqrt{11})^2 + 7^2} = \sqrt{142,56} \approx 8,4\) см.
1. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой, \(BC = 7\) см, радиус описанной окружности \(R = 9\) см, биссектриса \(BB_1\) выходит из вершины \(B\).
2. Гипотенуза \(AB = 2R = 18\) см.
3. Второй катет \(AC = \sqrt{AB^{2} — BC^{2}} = \sqrt{18^{2} — 7^{2}} = \sqrt{324 — 49} = \sqrt{275} = 5\sqrt{11}\) см.
4. Пусть \(AB_1 = x\), \(CB_1 = 5\sqrt{11} — x\).
5. По свойству биссектрисы: \(\frac{x}{5\sqrt{11} — x} = \frac{18}{7}\).
6. Перемножим крест-накрест: \(7x = 18(5\sqrt{11} — x)\).
7. Раскроем скобки: \(7x = 90\sqrt{11} — 18x\).
8. Переносим всё с \(x\) в одну часть: \(7x + 18x = 90\sqrt{11}\), \(25x = 90\sqrt{11}\).
9. Находим \(x\): \(x = \frac{90\sqrt{11}}{25} = 3,6\sqrt{11}\) см.
10. Тогда \(CB_1 = 5\sqrt{11} — 3,6\sqrt{11} = 1,4\sqrt{11}\) см.
11. Длина биссектрисы по формуле: \(BB_1 = \sqrt{BC \cdot BA_1} = \sqrt{7 \cdot 3,6\sqrt{11}} = \sqrt{25,2\sqrt{11}}\).
12. Также можно использовать теорему Пифагора для треугольника \(BB_1C\): \(BB_1 = \sqrt{(3,6\sqrt{11})^{2} + (1,4\sqrt{11})^{2}}\).
13. \(BB_1 = \sqrt{(3,6)^{2} \cdot 11 + (1,4)^{2} \cdot 11} = \sqrt{12,96 \cdot 11 + 1,96 \cdot 11} =\)
\(= \sqrt{14,92 \cdot 11} = \sqrt{164,12}\).
14. \(BB_1 \approx 8,4\) см.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!