ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.56 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Боковые стороны прямоугольной трапеции относятся как \(3 : 5\), разность оснований равна \(16\) см. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ равна \(13\) см.

Дано: \(ABCD\), \(AB : CD = 3 : 5\), \(AD — BC = 16~\text{см}\), \(AC = 13~\text{см}\).

Пусть \(AB = CH = 3x\), \(CD = 5x\).

В треугольнике \(ABC\):
\(BC^2 = AC^2 — AB^2\)
\(BC = \sqrt{169 — 9x^2}\)

В треугольнике \(CHD\):
\(HD^2 = CD^2 — CH^2\)
\(HD = \sqrt{25x^2 — 9x^2} = 4x\)

\(\sqrt{169 — 9x^2} + 4x — \sqrt{169 — 9x^2} = 16\)

\(x = 4\)

1. Пусть \(AB = CH = 3x\), \(CD = 5x\), так как по условию \(AB : CD = 3 : 5\).

2. В треугольнике \(ABC\) по теореме Пифагора:
\(BC^2 = AC^2 — AB^2\)
\(BC^2 = 13^2 — (3x)^2\)
\(BC^2 = 169 — 9x^2\)
\(BC = \sqrt{169 — 9x^2}\)

3. В треугольнике \(CHD\) также по теореме Пифагора:
\(HD^2 = CD^2 — CH^2\)
\(HD^2 = (5x)^2 — (3x)^2\)
\(HD^2 = 25x^2 — 9x^2\)
\(HD^2 = 16x^2\)
\(HD = 4x\)

4. По условию \(AD — BC = 16\) см, где \(AD = HD + BC\):
\(HD + BC — BC = 16\)
\(HD = 16\)

5. Подставляем найденное значение \(HD = 4x\):
\(4x = 16\), отсюда
\(x = 4\)

6. Тогда \(AB = 3x = 12\) см, \(CD = 5x = 20\) см.

7. Проверим вычисления для \(BC\):
\(BC = \sqrt{169 — 9x^2} = \sqrt{169 — 9 \cdot 16} = \sqrt{169 — 144} = \sqrt{25} = 5\) см

8. Проверим вычисления для \(HD\):
\(HD = 4x = 16\) см

9. Все условия задачи выполняются:
\(AB : CD = 12 : 20 = 3 : 5\),
\(AD — BC = 16\) см,
\(AC = 13\) см.

10. Ответ: \(x = 4\), \(AB = 12\) см, \(CD = 20\) см, \(BC = 5\) см, \(HD = 16\) см.