ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямая \( a \) и плоскость \( \alpha \) параллельны прямой \( b \). Каким может быть взаимное расположение прямой \( a \) и плоскости \( \alpha \)?

Прямая \( a \) и плоскость \( \alpha \) параллельны прямой \( b \). Тогда прямая \( a \) может лежать в плоскости \( \alpha \) или быть параллельна плоскости \( \alpha \), то есть не пересекать её. Если \( a \) лежит в \( \alpha \), то они параллельны \( b \). Если \( a \) параллельна \( \alpha \), то они не пересекаются, и \( a \) параллельна любой прямой в \( \alpha \), параллельной \( b \). Пересечения быть не может.

1. Дано, что прямая \( a \) и плоскость \( \alpha \) параллельны прямой \( b \). Это значит, что и \( a \), и \( \alpha \) направлены так, что не пересекаются с \( b \), или лежат в одном направлении с \( b \).

2. Рассмотрим первый вариант: прямая \( a \) лежит в плоскости \( \alpha \). Тогда \( a \subset \alpha \), и обе фигуры параллельны \( b \). В этом случае прямая \( a \) не пересекает плоскость \( \alpha \), а полностью в ней содержится.

3. Рассмотрим второй вариант: прямая \( a \) не лежит в плоскости \( \alpha \), но параллельна ей. Это значит, что \( a \cap \alpha = \emptyset \), то есть они не имеют общих точек. При этом прямая \( a \) параллельна любой прямой в \( \alpha \), которая параллельна \( b \).

4. Третий вариант: прямая \( a \) пересекает плоскость \( \alpha \). Если это произошло бы, то в точке пересечения направление \( a \) изменилось бы относительно направления \( b \), и \( a \) не могла бы быть параллельна \( b \). Значит, этот вариант невозможен.

5. Подводя итог, можно записать, что прямая \( a \) и плоскость \( \alpha \) либо параллельны друг другу (не пересекаются), либо прямая \( a \) лежит в плоскости \( \alpha \).

6. Таким образом, если \( a \parallel b \) и \( \alpha \parallel b \), то \( a \subset \alpha \) или \( a \parallel \alpha \).

7. Запишем это формально:
Если \( a \parallel b \) и \( \alpha \parallel b \), то
\( a \subset \alpha \) или \( a \cap \alpha = \emptyset \) и \( a \parallel \alpha \).

8. Важно отметить, что пересечения \( a \) и \( \alpha \) при параллельности с \( b \) не может быть, иначе \( a \) перестала бы быть параллельной \( b \).

9. Следовательно, взаимное расположение прямой \( a \) и плоскости \( \alpha \) ограничено двумя вариантами: либо прямая лежит в плоскости, либо они параллельны.

10. Это решение полностью соответствует условию задачи и примерам из учебника.