ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 5.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямые \( a \) и \( b \) пересекаются, а плоскость \( \alpha \) параллельна прямой \( a \). Каким может быть взаимное расположение прямой \( b \) и плоскости \( \alpha \)?

Прямые \( a \) и \( b \) пересекаются, значит они лежат в одной плоскости. Плоскость \( \alpha \) параллельна прямой \( a \), значит \( a \cap \alpha = \emptyset \). Тогда прямая \( b \) может либо пересекать плоскость \( \alpha \), либо быть параллельной ей.

1. Дано, что прямые \( a \) и \( b \) пересекаются. Это означает, что существует точка \( O \), которая принадлежит обеим прямым: \( O \in a \) и \( O \in b \).

2. Плоскость \( \alpha \) параллельна прямой \( a \). По определению параллельности, это значит, что прямая \( a \) не пересекает плоскость \( \alpha \), то есть \( a \cap \alpha = \emptyset \).

3. Рассмотрим расположение прямой \( b \) относительно плоскости \( \alpha \). Так как \( b \) пересекается с \( a \) в точке \( O \), а \( a \) не лежит в плоскости \( \alpha \), то точка \( O \) не принадлежит \( \alpha \).

4. Возможны два варианта положения прямой \( b \) относительно плоскости \( \alpha \):

5. Первый вариант — прямая \( b \) пересекает плоскость \( \alpha \). В этом случае существует точка \( P \), такая что \( P \in b \) и \( P \in \alpha \). Тогда прямая \( b \) проходит через точку \( O \), которая не лежит в \( \alpha \), и через точку \( P \), которая лежит в \( \alpha \).

6. Второй вариант — прямая \( b \) параллельна плоскости \( \alpha \). Тогда прямая \( b \) не имеет общих точек с \( \alpha \), то есть \( b \cap \alpha = \emptyset \), но при этом пересекается с прямой \( a \) вне плоскости \( \alpha \).

7. Невозможен вариант, при котором прямая \( b \) лежит в плоскости \( \alpha \), так как тогда точка пересечения \( O \) принадлежала бы \( \alpha \), а это противоречит условию, что \( a \) параллельна \( \alpha \) и не пересекает её.

8. Таким образом, прямая \( b \) может либо пересекать плоскость \( \alpha \), либо быть параллельной ей.

9. Вывод: \( b \cap \alpha \neq \emptyset \) или \( b \cap \alpha = \emptyset \), при этом \( b \cap a = \{ O \} \), где \( O \notin \alpha \).

10. Итог: прямая \( b \) может пересекать плоскость \( \alpha \) или быть параллельной ей, но не лежать в ней.