ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 6.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\). Отрезок \(AB\) и точка \(C\) лежат в плоскости \(\alpha\), точка \(D\) — в плоскости \(\beta\) (рис. 6.14). Постройте линию пересечения:  

1) плоскости \(\beta\) и плоскости \(ABD\);  

2) плоскости \(\beta\) и плоскости \(BCD\).

Треугольники \(ABC\) и \(DBC\) равны по двум сторонам и углу между ними:
\(AB = DB\), \(BC = BC\), угол \(ABC\) общий.

Следовательно, углы \(BAC\) и \(BDC\) равны.

Так как \(AD\) и \(BC\) параллельны, то углы \(BAC\) и \(ACD\) равны по свойству соответственных углов.

Отсюда следует, что треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны, а значит \(AB = CD\).

1. В треугольнике \(ABC\) проведена высота \(BD\), перпендикулярная к основанию \(AC\).

2. По условию, \(AD\) и \(BC\) параллельны, значит углы \(BAD\) и \(BCD\) являются соответственными и равны: \( \angle BAD = \angle BCD \).

3. Треугольники \(ABD\) и \(CBD\) имеют общий угол \( \angle BDA = \angle BDC = 90^\circ \) и сторону \(BD\) общую.

4. По признаку равенства треугольников по двум катетам и гипотенузе:
\(AB = BC\) (по условию),
\(BD\) общая,
\( \angle BDA = \angle BDC = 90^\circ \),
следовательно, \( \triangle ABD = \triangle CBD \).

5. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:
\(AD = DC\).

6. Таким образом, точка \(D\) является серединой отрезка \(AC\), а высота \(BD\) — медианой.

7. Следовательно, в трапеции \(ABCD\) с параллельными сторонами \(AD\) и \(BC\) высота \(BD\) делит основание \(AC\) пополам.

8. Это доказывает, что трапеция равнобедренная, так как боковые стороны равны и высота является медианой.

9. Углы при основании равны: \( \angle BAD = \angle BCD \).

10. Итог: высота \(BD\) является медианой, а трапеция \(ABCD\) равнобедренная.