ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 6.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекают сторону \(BA\) угла \(ABC\) в точках \(A_1\) и \(A_2\) соответственно, а сторону \(BC\) — в точках \(C_1\) и \(C_2\) соответственно. Найдите:

1) отрезок \(A_1C_1\), если \(A_2C_2 = 36\) см, \(BA_1 : BA_2 = 5 : 9\);

2) отрезок \(C_1C_2\), если \(A_1C_1 = 14\) см, \(A_2C_2 = 21\) см, \(BC_1 = 12\) см.

Так как плоскости параллельны, треугольники \(BA_2C_2\) и \(BA_1C_1\) подобны по двум углам. Значит, выполняется пропорция

\(\frac{A_2C_2}{A_1C_1} = \frac{BA_2}{BA_1}\).

Подставляя данные: \(\frac{36}{A_1C_1} = \frac{9}{5}\), откуда

\(A_1C_1 = \frac{36 \cdot 5}{9} = 20\).

Для второго пункта треугольники \(A_1C_1B\) и \(A_2C_2B\) также подобны, значит

\(\frac{A_1C_1}{A_2C_2} = \frac{BC_1}{BC_2}\).

Подставляя: \(\frac{14}{21} = \frac{12}{BC_2}\), откуда

\(BC_2 = \frac{21 \cdot 12}{14} = 18\).

Отрезок

\(C_1C_2 = BC_2 — BC_1 = 18 — 12 = 6\).

Ответ: \(A_1C_1 = 20\), \(C_1C_2 = 6\).

1) Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, значит сечение, которое они образуют на треугольнике \(ABC\), создаёт подобные треугольники на сторонах \(BA\) и \(BC\). Рассмотрим треугольники \(BA_2C_2\) и \(BA_1C_1\). Поскольку плоскости параллельны, углы при вершине \(B\) и углы между сечениями равны, следовательно, треугольники подобны по двум углам. Из подобия следует, что отношение соответствующих сторон равно: \(\frac{A_2C_2}{A_1C_1} = \frac{BA_2}{BA_1}\).

В условии дано, что \(A_2C_2 = 36\) см и отношение отрезков на стороне \(BA\) равно \(BA_1 : BA_2 = 5 : 9\). Это значит, что \(\frac{BA_2}{BA_1} = \frac{9}{5}\). Подставим эти значения в пропорцию: \(\frac{36}{A_1C_1} = \frac{9}{5}\). Чтобы найти \(A_1C_1\), нужно решить уравнение: \(A_1C_1 = \frac{36 \cdot 5}{9} = 20\) см.

2) Во втором пункте нам даны другие значения: \(A_1C_1 = 14\) см, \(A_2C_2 = 21\) см и \(BC_1 = 12\) см. Аналогично первому случаю, из параллельности плоскостей следует, что треугольники \(A_1C_1B\) и \(A_2C_2B\) подобны, и выполняется пропорция между сторонами: \(\frac{A_1C_1}{A_2C_2} = \frac{BC_1}{BC_2}\).

Подставим известные значения: \(\frac{14}{21} = \frac{12}{BC_2}\). Решая уравнение относительно \(BC_2\), получаем: \(BC_2 = \frac{21 \cdot 12}{14} = 18\) см. Таким образом, длина отрезка \(BC_2\) равна 18 см.

Чтобы найти отрезок \(C_1C_2\), вычтем длину \(BC_1\) из \(BC_2\): \(C_1C_2 = BC_2 — BC_1 = 18 — 12 = 6\) см. Этот результат показывает, что расстояние между точками пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) на стороне \(BC\) равно 6 см.

Ответ: \(A_1C_1 = 20\), \(C_1C_2 = 6\).