ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 6.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны. Точки \(A\) и \(B\) лежат в плоскости \(\alpha\), точки \(C\) и \(D\) — в плоскости \(\beta\). Отрезки \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\).  

1) Докажите, что \(\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}\).  

2) Найдите отрезок \(AB\), если \(CD = 32\) см, \(AC : AO = 7 : 3\).

Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, значит \(AB \parallel DC\). Треугольники \(AOB\) и \(COD\) подобны, поэтому \(\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}\).

Дано \(AC : AO = 7 : 3\), значит \(AO = 3k\), \(OC = 4k\).

Из подобия \(\frac{AB}{CD} = \frac{AO}{OC} = \frac{3}{4}\).

При \(CD = 32\) см, получаем \(AB = 32 \times \frac{3}{4} = 24\) см.

1) Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, значит отрезки \(AB\) и \(CD\) тоже параллельны. Точки \(A, B\) лежат в плоскости \(\alpha\), а \(C, D\) — в плоскости \(\beta\). Отрезки \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\).

2) Рассмотрим треугольники \(AOB\) и \(COD\). Угол при точке \(O\) общий для обоих треугольников, а углы при \(A\) и \(C\) равны, так как \(AB \parallel CD\). Значит, треугольники подобны по двум углам.

3) Из подобия треугольников следует равенство отношений соответствующих сторон: \(\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}\).

4) По условию \(AC : AO = 7 : 3\), обозначим \(AO = 3k\), тогда \(OC = AC — AO = 7k — 3k = 4k\).

5) Из пункта 3 следует, что \(\frac{BO}{OD} = \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4}\). Обозначим \(BO = 3m\), \(OD = 4m\).

6) Длина отрезка \(CD = BO + OD = 3m + 4m = 7m\). По условию \(CD = 32\) см, значит \(7m = 32\), откуда \(m = \frac{32}{7}\).

7) Длина отрезка \(AB = AO + BO = 3k + 3m\). Для нахождения \(AB\) воспользуемся отношением подобия треугольников: \(\frac{AB}{CD} = \frac{AO}{OC} = \frac{3}{4}\).

8) Подставим \(CD = 32\) см, тогда \(AB = 32 \times \frac{3}{4} = 24\) см.

9) Таким образом, доказано, что \(\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}\) и найдена длина \(AB = 24\) см.