ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 6.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На ребре \(AB\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили точку \(M\) так, что \(AM : MB = 1 : 2\) (рис. 6.16). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку \(M\) и параллельной плоскости \(ACC_1\). Найдите периметр полученного сечения, если ребро куба равно \(a\).

Точка \(M\) на ребре \(AB\) имеет координаты \(\left(\frac{a}{3}, 0, 0\right)\). Плоскость \(ACC_1\) имеет нормаль \((1, -1, 0)\), уравнение плоскости параллельной через \(M\) — \(x — y — \frac{a}{3} = 0\).

Пересечения с ребрами куба дают точки \(M\left(\frac{a}{3}, 0, 0\right)\), \(N\left(a, \frac{2a}{3}, 0\right)\), \(P\left(a, \frac{2a}{3}, a\right)\), \(Q\left(\frac{a}{3}, 0, a\right)\).

Длины сторон сечения: \(MN = PQ = \frac{2a}{3} \sqrt{2}\), \(NP = QM = a\).

Периметр сечения равен \(2a + \frac{4a}{3} \sqrt{2}\).

1. Примем систему координат: \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C(a,a,0)\), \(D(0,a,0)\), \(A_1(0,0,a)\), \(B_1(a,0,a)\), \(C_1(a,a,a)\), \(D_1(0,a,a)\).

2. Точка \(M\) делит ребро \(AB\) в отношении \(1:2\), значит \(M\left(\frac{a}{3}, 0, 0\right)\).

3. Векторы плоскости \(ACC_1\): \(\overrightarrow{AC} = (a,a,0)\), \(\overrightarrow{AC_1} = (a,a,a)\).

4. Найдем нормаль к плоскости \(ACC_1\) как векторное произведение: \(\vec{n} = \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AC_1} = (a^2, -a^2, 0)\), упростим до \(\vec{n} = (1, -1, 0)\).

5. Уравнение плоскости, параллельной \(ACC_1\) и проходящей через \(M\): \(x — y + D = 0\). Подставляем \(M\): \(\frac{a}{3} — 0 + D = 0\), значит \(D = -\frac{a}{3}\). Итог: \(x — y — \frac{a}{3} = 0\).

6. На ребре \(AB\) (\(y=0, z=0\)) пересечение: \(0 = x — \frac{a}{3}\), значит \(x = \frac{a}{3}\) — точка \(M\).

7. На ребре \(BC\) (\(x=a, z=0\)) пересечение: \(y = a — \frac{a}{3} = \frac{2a}{3}\) — точка \(N(a, \frac{2a}{3}, 0)\).

8. На ребре \(B_1C_1\) (\(x=a, z=a\)) пересечение: \(y = a — \frac{a}{3} = \frac{2a}{3}\) — точка \(P(a, \frac{2a}{3}, a)\).

9. На ребре \(A_1B_1\) (\(y=0, z=a\)) пересечение: \(0 = x — \frac{a}{3}\), значит \(x = \frac{a}{3}\) — точка \(Q(\frac{a}{3}, 0, a)\).

10. Длины сторон сечения: \(MN = \sqrt{\left(a — \frac{a}{3}\right)^2 + \left(\frac{2a}{3} — 0\right)^2} = \frac{2a}{3} \sqrt{2}\), \(NP = a\), \(PQ = \frac{2a}{3} \sqrt{2}\), \(QM = a\).

Периметр сечения: \(P = MN + NP + PQ + QM = 2a + \frac{4a}{3} \sqrt{2}\).