ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 6.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) — середина ребра \(CC_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 6.17). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку \(M\) и параллельной плоскости \(A_1BC\). Найдите периметр полученного сечения, если ребро куба равно \(a\).

Точка \(M\) — середина ребра \(CC_1\), значит \(M\) находится на высоте \( \frac{a}{2} \).

Плоскость сечения параллельна плоскости \(A_1BC\), следовательно сечение — параллелограмм.

Длины сторон сечения равны \(KM = a\) и \(ML = \frac{a \sqrt{2}}{2}\).

Периметр сечения равен \(P = 2(KM + ML) = 2\left(a + \frac{a \sqrt{2}}{2}\right) = 2a + a \sqrt{2}\).

1. Точка \(M\) — середина ребра \(CC_1\). Если принять куб с ребром \(a\) и координатами вершин так, что \(C = (a, a, 0)\), \(C_1 = (a, a, a)\), то координаты точки \(M\) будут \(M = (a, a, \frac{a}{2})\).

2. Плоскость сечения проходит через точку \(M\) и параллельна плоскости \(A_1BC\). Плоскость \(A_1BC\) образована точками \(A_1 = (0,0,a)\), \(B = (a,0,0)\), \(C = (a,a,0)\).

3. Векторное направление плоскости \(A_1BC\) задаётся двумя векторами: \(\overrightarrow{A_1B} = (a,0,-a)\) и \(\overrightarrow{A_1C} = (a,a,-a)\).

4. Плоскость сечения параллельна \(A_1BC\), значит она имеет те же направляющие векторы и отличается только смещением по высоте, проходя через точку \(M\).

5. Найдём точки пересечения плоскости с ребрами куба. Сечение будет параллелограммом с вершинами \(K, M, L, N\), где \(K = (0,a,\frac{a}{2})\), \(L = (a,0,\frac{a}{2})\).

6. Длина стороны \(KM\) равна расстоянию между точками \(K = (0,a,\frac{a}{2})\) и \(M = (a,a,\frac{a}{2})\), то есть \(KM = a\).

7. Длина стороны \(ML\) равна расстоянию между точками \(M = (a,a,\frac{a}{2})\) и \(L = (a,0,\frac{a}{2})\), то есть \(ML = a\).

8. Для вычисления длины диагонали сечения используем векторы. Диагональ \(KL\) равна расстоянию между точками \(K\) и \(L\), вычисляем:

\[
KL = \sqrt{(a-0)^2 + (0 — a)^2 + \left(\frac{a}{2} — \frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a \sqrt{2}
\]

9. Периметр параллелограмма равен сумме длин всех сторон, то есть

\[
P = 2(KM + ML) = 2\left(a + \frac{a \sqrt{2}}{2}\right) = 2a + a \sqrt{2}
\]

10. Ответ: периметр сечения равен \(2a + a \sqrt{2}\).