ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 6.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На рёбрах \(AA_1\) и \(AD\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили соответственно точки \(M\) и \(K\), а на продолжении ребра \(BB_1\) за точку \(B_1\) — точку \(N\) (рис. 6.18). Постройте сечение куба плоскостью \(MNK\).

Пусть длина ребра куба равна \(a\). Точка \(M\) на ребре \(AA_1\) имеет координаты \(M = (0, 0, t a)\), где \(0 < t < 1\). Точка \(K\) на ребре \(AD\) — \(K = (0, a, 0)\). Точка \(N\) на продолжении ребра \(BB_1\) за \(B_1\) — \(N = (a, 0, (1 + s) a)\), где \(s > 0\).

Векторы \(\overrightarrow{MN} = (a, 0, (1 + s — t) a)\) и \(\overrightarrow{MK} = (0, a, -t a)\). Вектор нормали к плоскости \( \vec{n} = \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MK} = (-a^2, a^2, a^2)\).

Уравнение плоскости: \(-x + y + z = d\). Подставляем точку \(M\), получаем \(d = t a\). Значит уравнение плоскости: \(-x + y + z = t a\).

Находим пересечения плоскости с рёбрами куба, решая уравнение плоскости с уравнениями рёбер, и соединяем точки \(M, N, K\) и найденные пересечения. Получаем сечение — четырёхугольник с вершинами \(M, N, K\) и точкой пересечения плоскости с ребром \(CD\).

Таким образом, сечение плоскостью \(MNK\) — четырёхугольник \(MNKL\), где \(L\) — точка пересечения плоскости с ребром \(CD\).

1. Обозначим длину ребра куба через \(a\).

2. Точка \(M\) лежит на ребре \(AA_1\), значит координаты \(M\) можно записать как \(M = (0, 0, t a)\), где \(0 < t < 1\).

3. Точка \(K\) лежит на ребре \(AD\), значит координаты \(K\) будут \(K = (0, a, 0)\).

4. Точка \(N\) лежит на продолжении ребра \(BB_1\) за точку \(B_1\), значит координаты \(N\) равны \(N = (a, 0, (1 + s) a)\), где \(s > 0\).

5. Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через точки \(M, N, K\), найдём векторы \(\overrightarrow{MN} = (a, 0, (1 + s — t) a)\) и \(\overrightarrow{MK} = (0, a, -t a)\).

6. Вектор нормали к плоскости вычисляется как векторное произведение \(\vec{n} = \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MK} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & (1 + s — t) a \\ 0 & a & -t a \end{vmatrix} = (-a^{2}, a^{2}, a^{2})\).

7. Уравнение плоскости имеет вид \(-x + y + z = d\). Подставим точку \(M = (0, 0, t a)\), тогда \(d = t a\).

8. Следовательно, уравнение плоскости: \(-x + y + z = t a\).

9. Для построения сечения найдем точки пересечения плоскости с рёбрами куба, решая систему уравнений плоскости и уравнения рёбер. Получаем точки пересечения, в том числе точку \(L\) на ребре \(CD\).

10. Таким образом, сечение куба плоскостью, проходящей через точки \(M, N, K\), представляет собой четырёхугольник \(MNKL\), где \(L\) — точка пересечения плоскости с ребром \(CD\).