ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 6.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На рёбрах \(AB\) и \(A_1D_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили соответственно точки \(E\) и \(F\), а на продолжении ребра \(B_1C_1\) за точку \(C_1\) — точку \(K\) (рис. 6.19). Постройте сечение куба плоскостью \(EFK\).

Точки \( E \) и \( F \) лежат на рёбрах \( AB \) и \( A_1D_1 \) соответственно, а точка \( K \) — на продолжении ребра \( B_1C_1 \) за \( C_1 \).

Плоскость \( EFK \) пересекает ребро \( BC \) в точке \( B \), так как \( B \) лежит на линии между \( E \) и \( K \).

Плоскость пересекает ребро \( C_1D_1 \) в точке \( F \) и ребро \( B_1C_1 \) в точке \( K \).

Сечение куба плоскостью \( EFK \) — четырёхугольник с вершинами \( E, B, K, F \).

1. Рассмотрим куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) с ребрами длины \( a \). Пусть \( A = (0;0;0) \), \( B = (a;0;0) \), \( C = (a;a;0) \), \( D = (0;a;0) \), \( A_1 = (0;0;a) \), \( B_1 = (a;0;a) \), \( C_1 = (a;a;a) \), \( D_1 = (0;a;a) \).

2. Точка \( E \) лежит на ребре \( AB \), обозначим её координаты как \( E = (x_E;0;0) \), где \( 0 < x_E < a \).

3. Точка \( F \) лежит на ребре \( A_1D_1 \), её координаты \( F = (0;y_F;a) \), где \( 0 < y_F < a \).

4. Точка \( K \) лежит на продолжении ребра \( B_1C_1 \) за точку \( C_1 \). Ребро \( B_1C_1 \) направлено вдоль оси \( y \) от \( B_1(a;0;a) \) к \( C_1(a;a;a) \). Пусть \( K = (a; a + t; a) \), где \( t > 0 \).

5. Найдём уравнение плоскости, проходящей через точки \( E(x_E;0;0) \), \( F(0;y_F;a) \), \( K(a;a + t;a) \). Для этого найдём два вектора: \( \overrightarrow{EF} = (-x_E; y_F; a) \) и \( \overrightarrow{EK} = (a — x_E; a + t; a) \).

6. Вектор нормали к плоскости \( \vec{n} = \overrightarrow{EF} \times \overrightarrow{EK} \) вычисляется по формуле:

\( \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -x_E & y_F & a \\ a — x_E & a + t & a \end{vmatrix} = (y_F \cdot a — a \cdot (a + t); \)
\(-(-x_E \cdot a — a \cdot (a — x_E)); -x_E \cdot (a + t) — y_F \cdot (a — x_E)) \).

7. Подставим значения и упростим:

\( n_x = a y_F — a^2 — a t = a(y_F — a — t) \),
\( n_y = -(-x_E a — a^2 + a x_E) = -(-a^2) = a^2 \),
\( n_z = -x_E(a + t) — y_F(a — x_E) = -x_E a — x_E t — y_F a + y_F x_E \).

8. Уравнение плоскости имеет вид:

\( n_x (x — x_E) + n_y (y — 0) + n_z (z — 0) = 0 \).

9. Подставим и упростим уравнение:

\( a(y_F — a — t)(x — x_E) + a^2 y + (-x_E a — x_E t — y_F a + y_F x_E) z = 0 \).

10. Найдём точки пересечения плоскости с рёбрами куба. Например, с ребром \( BC \) (\( x = a, z = 0, y \in [0;a] \)):

Подставим \( x = a, z = 0 \):

\( a(y_F — a — t)(a — x_E) + a^2 y = 0 \Rightarrow y = \frac{-a(y_F — a — t)(a — x_E)}{a^2} = \)
\(=-\frac{(y_F — a — t)(a — x_E)}{a} \).

Если \( y \in [0;a] \), точка пересечения лежит на ребре \( BC \).

Аналогично находятся другие точки пересечения, что позволяет построить четырёхугольник с вершинами \( E, B, K, F \), являющийся сечением куба плоскостью \( EFK \).