ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 6.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Точка \(K\) принадлежит грани \(BCD\) тетраэдра \(DABC\) (рис. 6.20). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку \(K\) параллельно плоскости \(ABD\).

Плоскость \(ABD\) пересекает грань \(BCD\) по прямой \(BD\).

Плоскость сечения проходит через точку \(K\) на грани \(BCD\) и параллельна плоскости \(ABD\), значит она параллельна прямой \(BD\).

Проведём через точку \(K\) прямую, параллельную \(BD\), которая пересечёт ребро \(BC\) в точке \(N\).

Плоскость сечения пересекает ребра \(DA\) и \(AB\) в точках \(P\) и \(Q\) соответственно.

Сечение тетраэдра — треугольник \(K N P\), где \(K\) — заданная точка на грани \(BCD\), \(N\) — точка пересечения с ребром \(BC\), \(P\) — точка пересечения с ребром \(DA\).

1. Плоскость \(ABD\) пересекает грань \(BCD\) по прямой \(BD\).

2. Искомая плоскость сечения проходит через точку \(K\) на грани \(BCD\) и параллельна плоскости \(ABD\), значит она параллельна прямой \(BD\).

3. Проведём через точку \(K\) прямую, параллельную \(BD\), внутри грани \(BCD\). Эта прямая пересечёт ребро \(BC\) в точке \(N\).

4. Искомая плоскость пересечёт ребро \(DA\) в точке \(P\) и ребро \(AB\) в точке \(Q\).

5. Поскольку точка \(K\) лежит на грани \(BCD\), и прямая через \(K\), параллельная \(BD\), пересекает ребро \(BC\) в \(N\), то сечение образуют три точки: \(K\), \(N\), \(P\) (или \(Q\)).

6. Таким образом, сечение — треугольник \(K N P\), где \(N\) — точка пересечения с \(BC\), \(P\) — точка пересечения с \(DA\), и \(K\) — заданная точка на \(BCD\).

7. Для нахождения точек \(N\) и \(P\) используем уравнение плоскости, параллельной \(ABD\) и проходящей через \(K\).

8. Плоскость \(ABD\) задаётся нормальным вектором \(\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}\).

9. Искомая плоскость параллельна \(ABD\), значит её нормальный вектор пропорционален \(\vec{n}\), и уравнение плоскости можно записать как \(\vec{n} \cdot (\vec{r} — \vec{r}_K) = 0\), где \(\vec{r}_K\) — радиус-вектор точки \(K\).

10. Пересечения этой плоскости с рёбрами \(BC\) и \(DA\) дают точки \(N\) и \(P\), с которыми вместе с \(K\) образуется треугольное сечение тетраэдра.