ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 6.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что через две скрещивающиеся прямые проходит единственная пара параллельных плоскостей.

Дано: \(a\) и \(b\) — скрещивающиеся прямые.

Пусть существуют две пары плоскостей, проходящих через \(a\) и \(b\), и каждая пара состоит из параллельных плоскостей.

Если бы существовало две разные пары, то через \(a\) и \(b\) проходили бы две разные плоскости \(L_1\) и \(L_2\), параллельные соответствующим плоскостям \(\beta_1\) и \(\beta_2\).

Так как \(a\) и \(b\) скрещиваются, они не лежат в одной плоскости, значит плоскости \(L_1\) и \(L_2\) не совпадают.

Но тогда \(L_1\) пересекается с \(\beta_2\) или \(L_2\) пересекается с \(\beta_1\), что противоречит условию параллельности.

Следовательно, существует единственная пара параллельных плоскостей, проходящих через скрещивающиеся прямые \(a\) и \(b\).

1. Пусть \(a\) и \(b\) — скрещивающиеся прямые в пространстве. По определению, они не лежат в одной плоскости и не пересекаются.

2. Рассмотрим плоскость \(L\), проходящую через прямую \(a\). Такая плоскость существует и единственна, если задана прямая и точка вне неё.

3. Аналогично рассмотрим плоскость \(M\), проходящую через прямую \(b\), такую что \(M \parallel L\). Это возможно, так как через параллельные прямые можно провести параллельные плоскости.

4. Предположим, что существует другая пара параллельных плоскостей \(L’\) и \(M’\), проходящих через \(a\) и \(b\) соответственно, и отличающихся от \(L\) и \(M\).

5. Тогда плоскости \(L\) и \(L’\), обе проходящие через \(a\), пересекаются по прямой \(a\), но поскольку \(L \neq L’\), они образуют угол, отличный от нуля.

6. Аналогично плоскости \(M\) и \(M’\) пересекаются по прямой \(b\), образуя угол, отличный от нуля.

7. Так как \(L \parallel M\) и \(L’ \parallel M’\), то угол между \(L\) и \(L’\) равен углу между \(M\) и \(M’\).

8. Однако прямые \(a\) и \(b\) скрещиваются, следовательно, плоскости, содержащие их, не могут быть одновременно параллельны в двух различных парах.

9. Следовательно, предположение о существовании другой пары параллельных плоскостей приводит к противоречию.

10. Значит, через скрещивающиеся прямые \(a\) и \(b\) проходит единственная пара параллельных плоскостей.