ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 6.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что если плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, то любая прямая, проходящая через точку плоскости \(\alpha\) и параллельная плоскости \(\beta\), лежит в плоскости \(\alpha\).

Дано: \( \alpha \parallel \beta \), \( A \in \alpha \), прямая \( a \) проходит через \( A \) и \( a \parallel \beta \).

Поскольку \( \alpha \parallel \beta \), существует прямая \( a_1 \subset \beta \), параллельная \( a \).

Так как \( a \parallel a_1 \) и \( a_1 \subset \beta \), а \( A \in \alpha \), то прямая \( a \), проходящая через \( A \) и параллельная \( \beta \), лежит в плоскости \( \alpha \).

1. Дано: \( \alpha \parallel \beta \), \( A \in \alpha \), прямая \( a \) проходит через точку \( A \) и \( a \parallel \beta \).

2. По определению параллельности плоскостей, если \( \alpha \parallel \beta \), то существует прямая \( a_1 \subset \beta \), которая параллельна прямой \( a \).

3. Так как \( a \parallel a_1 \) и \( a_1 \subset \beta \), а \( a \) проходит через точку \( A \in \alpha \), то прямая \( a \) не может пересекать плоскость \( \beta \).

4. Если бы прямая \( a \) не лежала в плоскости \( \alpha \), то она пересекала бы плоскость, проходящую через \( A \) и параллельную \( \beta \), что невозможно.

5. Следовательно, прямая \( a \), проходящая через точку \( A \in \alpha \) и параллельная плоскости \( \beta \), обязательно лежит в плоскости \( \alpha \).