ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 6.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Постройте сечение куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) плоскостью, проходящей через вершину \( B_1 \) параллельно плоскости \( A_1C_1D_1 \). Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба равно \( a \).

Сечение куба плоскостью, проходящей через \( B_1 \) и параллельной плоскости \( A_1C_1D_1 \), является треугольником \( A B_1 C \).

Длина стороны \( AC = a \sqrt{2} \).

Площадь правильного треугольника со стороной \( a \sqrt{2} \) равна \( \frac{(a \sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{2 a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \).

Ответ: площадь сечения \( S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \).

1. Дано куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) с ребром длины \( a \).

2. Рассмотрим плоскость \( A_1C_1D_1 \), которая является гранью куба.

3. Требуется построить сечение куба плоскостью, проходящей через вершину \( B_1 \) и параллельной плоскости \( A_1C_1D_1 \).

4. Поскольку сечение параллельно плоскости \( A_1C_1D_1 \), оно будет параллелограммом, лежащим в плоскости, проходящей через \( B_1 \).

5. В данном случае сечение совпадает с треугольником \( A B_1 C \).

6. Найдём длину стороны \( AC \). В квадрате \( ABCD \) длина диагонали равна \( AC = a \sqrt{2} \).

7. Треугольник \( A B_1 C \) является правильным с длиной стороны \( a \sqrt{2} \).

8. Площадь правильного треугольника со стороной \( s \) равна \( \frac{s^{2} \sqrt{3}}{4} \).

9. Подставим \( s = a \sqrt{2} \): \( S = \frac{(a \sqrt{2})^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{2 a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} \).

10. Ответ: площадь сечения равна \( \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} \).