ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 6.28 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \( M \) — середина ребра \( A_1B_1 \) куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку \( M \) параллельно плоскости \( A_1BC_1 \). Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба равно \( a \).

Точка \( M \) — середина ребра \( A_1B_1 \), значит \( AM = \frac{a \sqrt{2}}{2} \).

Сечение плоскостью, проходящей через \( M \) и параллельной \( A_1BC_1 \), образует треугольник \( AMD_1 \).

Площадь правильного треугольника со стороной \( AM \) равна \( S = \frac{(AM)^2 \sqrt{3}}{4} \).

Подставляем \( AM = \frac{a \sqrt{2}}{2} \):

\( S = \frac{\left(\frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{a^2 \cdot 2}{4} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{8} \).

1. Рассмотрим куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) с ребром длины \( a \). Координаты вершин примем так:
\( A = (0,0,0) \), \( B = (a,0,0) \), \( C = (a,a,0) \), \( D = (0,a,0) \),
\( A_1 = (0,0,a) \), \( B_1 = (a,0,a) \), \( C_1 = (a,a,a) \), \( D_1 = (0,a,a) \).

2. Точка \( M \) — середина ребра \( A_1B_1 \), следовательно:
\( M = \left(\frac{a}{2}, 0, a\right) \).

3. Плоскость \( A_1BC_1 \) задана точками \( A_1(0,0,a) \), \( B(a,0,0) \), \( C_1(a,a,a) \).

4. Найдём векторы, лежащие в плоскости \( A_1BC_1 \):
\( \overrightarrow{A_1B} = (a,0,-a) \),
\( \overrightarrow{A_1C_1} = (a,a,0) \).

5. Найдём вектор нормали к плоскости \( A_1BC_1 \) как векторное произведение:
\[
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{A_1B} \times \overrightarrow{A_1C_1} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a & 0 & -a \\
a & a & 0
\end{vmatrix} = (a^2, -a^2, a^2).
\]

6. Уравнение плоскости \( A_1BC_1 \) имеет вид:
\[
a^2 x — a^2 y + a^2 z + D = 0.
\]
Подставим точку \( A_1(0,0,a) \):
\[
a^2 \cdot 0 — a^2 \cdot 0 + a^2 \cdot a + D = 0 \Rightarrow a^3 + D = 0 \Rightarrow D = -a^3.
\]

7. Следовательно, уравнение плоскости \( A_1BC_1 \):
\[
x — y + z — a = 0.
\]

8. Искомая плоскость проходит через точку \( M \) и параллельна \( A_1BC_1 \), значит её уравнение:
\[
x — y + z + D’ = 0.
\]
Подставим координаты \( M\left(\frac{a}{2}, 0, a\right) \):
\[
\frac{a}{2} — 0 + a + D’ = 0 \Rightarrow D’ = -\frac{3a}{2}.
\]

9. Таким образом, уравнение искомой плоскости:
\[
x — y + z — \frac{3a}{2} = 0.
\]

10. Найдём точки пересечения этой плоскости с рёбрами куба, чтобы определить сечение.

— Ребро \( A A_1 \): точки \( (0,0,t) \), подставляем:
\[
0 — 0 + t — \frac{3a}{2} = 0 \Rightarrow t = \frac{3a}{2},
\]
что больше \( a \), значит вне куба.

— Ребро \( B B_1 \): точки \( (a,0,t) \), подставляем:
\[
a — 0 + t — \frac{3a}{2} = 0 \Rightarrow t = \frac{3a}{2} — a = \frac{a}{2},
\]
что внутри куба (так как \( 0 \leq t \leq a \)). Обозначим эту точку \( N = \left(a, 0, \frac{a}{2}\right) \).

— Ребро \( B_1 C_1 \): точки \( (a,t,a) \), подставляем:
\[
a — t + a — \frac{3a}{2} = 0 \Rightarrow t = \frac{a}{2},
\]
в пределах куба, точка \( P = \left(a, \frac{a}{2}, a\right) \).

— Ребро \( A_1 B_1 \): точки \( (t,0,a) \), подставляем:
\[
t — 0 + a — \frac{3a}{2} = 0 \Rightarrow t = \frac{a}{2},
\]
точка \( M = \left(\frac{a}{2}, 0, a\right) \) — заданная.

11. Проверим остальные рёбра — пересечений внутри куба нет.

12. Получили три точки сечения:
\[
M = \left(\frac{a}{2}, 0, a\right), \quad N = \left(a, 0, \frac{a}{2}\right), \quad P = \left(a, \frac{a}{2}, a\right).
\]

13. Найдём длины сторон треугольника \( M N P \):

— \( M N = \sqrt{\left(a — \frac{a}{2}\right)^2 + (0 — 0)^2 + \left(\frac{a}{2} — a\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a}{\sqrt{2}}. \)

— \( N P = \sqrt{(a — a)^2 + \left(\frac{a}{2} — 0\right)^2 + (a — \frac{a}{2})^2} = \sqrt{0 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a}{\sqrt{2}}. \)

— \( P M = \sqrt{\left(a — \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2} — 0\right)^2 + (a — a)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 0} = \frac{a}{\sqrt{2}}. \)

14. Все стороны равны, значит треугольник \( M N P \) — правильный с длиной стороны \( \frac{a}{\sqrt{2}} \).

15. Площадь правильного треугольника со стороной \( s \) вычисляется по формуле:
\[
S = \frac{s^2 \sqrt{3}}{4}.
\]
Подставим \( s = \frac{a}{\sqrt{2}} \):
\[
S = \frac{\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{a^2}{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{8}.
\]

Ответ: площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку \( M \) и параллельной плоскости \( A_1BC_1 \), равна
\[
\frac{a^2 \sqrt{3}}{8}.
\]