ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 6.35 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На рёбрах \(AA_1\), \(A_1B_1\) и \(CD\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили соответственно точки \(M\), \(N\) и \(K\) (рис. 6.28). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку \(K\) параллельно плоскости \(MNC\).

Плоскость \(MNC\) задаётся точками \(M\), \(N\), \(C\). Через точку \(K\) проведём плоскость, параллельную \(MNC\).

Для этого найдём вектор нормали к плоскости \(MNC\), вычислив векторное произведение \(\overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MC}\).

Уравнение плоскости, параллельной \(MNC\) и проходящей через \(K\), будет иметь тот же нормальный вектор, но с другим свободным членом.

Найдём точки пересечения этой плоскости с рёбрами куба. Получим точки \(N\), \(K\), \(R\) (на ребре \(AB\)) и \(S\) (на ребре \(B_1C_1\)).

Соединив точки \(K, R, S, N\), получим искомое сечение куба.

1. Зададим координаты вершин куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) с длиной ребра \( a \): \( A(0;0;0) \), \( B(a;0;0) \), \( C(a;a;0) \), \( D(0;a;0) \), \( A_1(0;0;a) \), \( B_1(a;0;a) \), \( C_1(a;a;a) \), \( D_1(0;a;a) \).

2. Точка \( M \) лежит на ребре \( AA_1 \), значит \( M(0;0;m) \), где \( 0 \leq m \leq a \).

3. Точка \( N \) лежит на ребре \( A_1B_1 \), значит \( N(n;0;a) \), где \( 0 \leq n \leq a \).

4. Точка \( K \) лежит на ребре \( CD \), значит \( K(k;a;0) \), где \( 0 \leq k \leq a \).

5. Найдём векторы плоскости \( MNC \): \( \overrightarrow{MN} = (n;0;a — m) \), \( \overrightarrow{MC} = (a; a; -m) \).

6. Вектор нормали \( \mathbf{n} = \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MC} = \left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ n & 0 & a — m \\ a & a & -m \end{matrix} \right| = (-a^2; a(n + m); a n) \).

7. Уравнение плоскости \( MNC \): \( -a^2 x + a(n + m) y + a n z + D = 0 \). Подставим точку \( M(0;0;m) \) для определения \( D \): \( -a^2 \cdot 0 + a(n + m) \cdot 0 + a n \cdot m + D = 0 \Rightarrow D = -a n m \).

8. Уравнение плоскости \( MNC \): \( -a^2 x + a(n + m) y + a n z — a n m = 0 \).

9. Плоскость, параллельная \( MNC \) и проходящая через \( K(k;a;0) \), имеет уравнение \( -a^2 x + a(n + m) y + a n z + D’ = 0 \). Подставим \( K \): \( -a^2 k + a(n + m) a + a n \cdot 0 + D’ = 0 \Rightarrow D’ = a^2 k — a^2 (n + m) \).

10. Искомое сечение — многоугольник, образованный пересечением этой плоскости с рёбрами куба. Найдём точки пересечения с рёбрами:

<table>
<tr><th>Ребро</th><th>Уравнение ребра</th><th>Точка пересечения с плоскостью</th></tr>
<tr><td>AB</td><td>\( (x;0;0), 0 \leq x \leq a \)</td><td>Подставим в плоскость: \( -a^2 x + D’ = 0 \Rightarrow x = \frac{D’}{a^2} = k — (n + m) \). Точка \( R\left(k — n — m; 0; 0\right) \).</td></tr>
<tr><td>B_1C_1</td><td>\( (a; y; a), 0 \leq y \leq a \)</td><td>Подставим: \( -a^2 a + a(n + m) y + a n a + D’ = 0 \Rightarrow a(n + m) y = a^2 (a — n) — D’ \). Решим для \( y \): \( y = \frac{a^2 (a — n) — D’}{a(n + m)} \). Точка \( S\left(a; y; a\right) \).</td></tr>
<tr><td>A_1B_1</td><td>\( (x; 0; a), 0 \leq x \leq a \)</td><td>Точка \( N \) уже на плоскости.</td></tr>
<tr><td>CD</td><td>\( (x; a; 0), 0 \leq x \leq a \)</td><td>Точка \( K \) уже на плоскости.</td></tr>
</table>

Соединив точки \( K, R, S, N \), получаем искомое сечение куба.