ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 6.36 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \(M\) и \(N\) — середины соответственно рёбер \(BC\) и \(AD\) тетраэдра \(DABC\). Параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) содержат соответственно прямые \(AM\) и \(BN\). Постройте сечения тетраэдра плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\).

Точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(BC\) и \(AD\).

Плоскость \(\alpha\) содержит прямую \(AM\), плоскость \(\beta\) — прямую \(BN\), при этом \(\alpha \parallel \beta\).

Проведём через \(M\) и \(N\) линии, параллельные ребрам \(AD\) и \(BC\), чтобы найти точки пересечения с ребром \(DC\), обозначим их \(K\) и \(P\).

Сечения тетраэдра плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) — четырёхугольники \(A M K D\) и \(B N P C\).

Общее сечение плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) — четырёхугольник \(N K M P\).

1. Точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(BC\) и \(AD\), значит \(M\) делит отрезок \(BC\) пополам, а \(N\) — отрезок \(AD\) пополам.

2. Плоскость \(\alpha\) содержит прямую \(AM\). Для определения сечения плоскостью \(\alpha\) необходимо найти ещё одну точку пересечения этой плоскости с тетраэдром. Поскольку \(\alpha\) параллельна плоскости \(\beta\), которая содержит \(BN\), и обе плоскости параллельны, то линия пересечения плоскости \(\alpha\) с ребром \(DC\) обозначена как точка \(K\).

3. Аналогично, плоскость \(\beta\) содержит прямую \(BN\) и пересекает ребро \(DC\) в точке \(P\).

4. Так как плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, то линии \(AM\) и \(BN\) не пересекаются, а точки \(K\) и \(P\) лежат на одном ребре \(DC\), при этом отрезки \(MK\) и \(NP\) параллельны.

5. Рассмотрим сечение тетраэдра плоскостью \(\alpha\). Оно образовано четырёхугольником с вершинами \(A\), \(M\), \(K\), \(D\). Это связано с тем, что плоскость проходит через точки \(A\), \(M\), \(K\) и пересекает ребро \(AD\) в точке \(D\).

6. Аналогично сечение тетраэдра плоскостью \(\beta\) — четырёхугольник \(B\), \(N\), \(P\), \(C\), так как плоскость \(\beta\) проходит через точки \(B\), \(N\), \(P\) и пересекает ребро \(BC\) в точке \(C\).

7. Общее сечение тетраэдра двумя плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) — четырёхугольник с вершинами \(N\), \(K\), \(M\), \(P\).

8. Этот четырёхугольник лежит внутри тетраэдра и образован пересечениями плоскостей с рёбрами тетраэдра.

9. Таким образом, сечения плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) — четырёхугольники \(A M K D\) и \(B N P C\), а их общее сечение — четырёхугольник \(N K M P\).

10. Итог: построены сечения тетраэдра плоскостями, параллельными и содержащими заданные прямые, с учётом середин рёбер и точек пересечения с ребром \(DC\).