ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 6.37 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) — середина ребра \(BC\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) содержат соответственно прямые \(A_1M\) и \(D_1C\). Постройте сечения куба плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\).

Точка \(M\) — середина ребра \(BC\), значит \(M\) лежит на ребре \(BC\).

Плоскость \(\alpha\) содержит прямую \(A_1M\), значит сечение плоскостью \(\alpha\) проходит через точки \(A_1\), \(M\), а также пересекает ребра \(AB\) и \(B_1A_1\) в точках \(B\) и \(B_1\) соответственно.

Плоскость \(\beta\) содержит прямую \(D_1C\) и параллельна плоскости \(\alpha\), значит сечение плоскостью \(\beta\) параллельно сечению \(\alpha\) и проходит через ребра \(D_1C\), \(DC\) и \(C_1D_1\).

Таким образом, сечение плоскостью \(\alpha\) — четырёхугольник \(A_1 M B B_1\), сечение плоскостью \(\beta\) — четырёхугольник \(D_1 C D C_1\).

1. Дано куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Точка \( M \) — середина ребра \( BC \), значит координаты \( M \) находятся на отрезке между точками \( B \) и \( C \), то есть \( M = \frac{B + C}{2} \).

2. Плоскость \(\alpha\) содержит прямую \( A_1M \). Прямая \( A_1M \) соединяет вершину верхнего основания \( A_1 \) и середину ребра \( BC \) нижнего основания. Значит плоскость \(\alpha\) проходит через точки \( A_1 \) и \( M \).

3. Чтобы определить сечение плоскостью \(\alpha\), нужно найти пересечения этой плоскости с рёбрами куба. Известно, что \( M \) лежит на ребре \( BC \), а \( A_1 \) — вершина верхнего основания. Рассмотрим ребра, которые могут пересекаться с \(\alpha\):

— Ребро \( AB \), так как \( B \) и \( C \) связаны, а \( M \) — середина \( BC \).
— Ребро \( B_1A_1 \), верхнее ребро, параллельное \( AB \).

4. Плоскость \(\alpha\) проходит через \( A_1 \) и \( M \), значит сечение будет содержать эти точки. Также сечение пересекает ребра \( AB \) и \( B_1A_1 \) в точках \( B \) и \( B_1 \) соответственно, так как они лежат на линии, соединяющей \( A_1 \) и \( M \).

5. Следовательно, сечение плоскостью \(\alpha\) — четырёхугольник с вершинами \( A_1, M, B, B_1 \).

6. Плоскость \(\beta\) содержит прямую \( D_1C \). Ребро \( D_1C \) соединяет вершину \( D_1 \) верхнего основания и вершину \( C \) нижнего основания.

7. Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, значит сечение плоскостью \(\beta\) будет параллельно сечению плоскостью \(\alpha\).

8. Поскольку плоскость \(\beta\) содержит ребро \( D_1C \), сечение плоскостью \(\beta\) пересекает ребра \( DC \) и \( C_1D_1 \).

9. Таким образом, сечение плоскостью \(\beta\) — четырёхугольник с вершинами \( D_1, C, D, C_1 \).

10. Итог: сечение плоскостью \(\alpha\) — четырёхугольник \( A_1 M B B_1 \), сечение плоскостью \(\beta\) — четырёхугольник \( D_1 C D C_1 \).