ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 6.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 На рёбрах \(DA\), \(DB\) и \(DC\) тетраэдра \(DABC\) отметили соответственно точки \(E\), \(F\) и \(K\) так, что \(\frac{DE}{DA} = \frac{DF}{DB} = \frac{DK}{DC}\). Докажите, что плоскости \(EFK\) и \(ABC\) параллельны.

По условию \(\frac{DE}{DA} = \frac{DF}{DB} = \frac{DK}{DC}\).

Это означает, что треугольники \(EFK\) и \(ABC\) подобны.

Из подобия следует, что \(EF \parallel AB\) и \(FK \parallel BC\).

Следовательно, плоскость \(EFK\) параллельна плоскости \(ABC\).

1. По условию задачи на рёбрах тетраэдра \(DA\), \(DB\) и \(DC\) отмечены точки \(E\), \(F\) и \(K\) соответственно так, что выполнено равенство \(\frac{DE}{DA} = \frac{DF}{DB} = \frac{DK}{DC}\).

2. Это означает, что точки \(E\), \(F\) и \(K\) делят соответствующие рёбра в одинаковых пропорциях, то есть \(E\), \(F\), \(K\) — гомотетические образы точек \(A\), \(B\), \(C\).

3. Рассмотрим треугольники \(EFK\) и \(ABC\). Поскольку отрезки \(DE\), \(DF\), \(DK\) соотносятся с отрезками \(DA\), \(DB\), \(DC\) одинаково, то стороны треугольника \(EFK\) пропорциональны сторонам треугольника \(ABC\).

4. Следовательно, треугольники \(EFK\) и \(ABC\) подобны по признаку равенства отношений соответствующих сторон.

5. Из подобия треугольников следует, что углы при соответствующих вершинах равны, а значит, стороны \(EF\) и \(AB\) параллельны, а также стороны \(FK\) и \(BC\) параллельны.

6. Поскольку две стороны треугольника \(EFK\) параллельны соответствующим сторонам треугольника \(ABC\), то плоскость, содержащая треугольник \(EFK\), параллельна плоскости, содержащей треугольник \(ABC\).

7. Таким образом, плоскости \(EFK\) и \(ABC\) параллельны.