ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 6.41 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) — середина ребра \(C_1D_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через прямую \(AC_1\) и параллельной прямой \(CM\).

Точка \( M \) — середина ребра \( C_1D_1 \), значит \( M \) делит ребро пополам.

Плоскость проходит через прямую \( AC_1 \) и параллельна прямой \( CM \), значит сечение содержит \( AC_1 \) и направление вектора \( CM \).

Проведём через \( A \) и \( C_1 \) прямую, затем через \( A \) проведём прямую \( AM_1 \) параллельную \( CM \), где \( M_1 \) — точка на ребре \( AB \).

Плоскость пересечёт ребро \( BC_1 \) в точке \( B_1 \), а ребро \( D_1C \) в точке \( D_1 \).

Сечение — четырёхугольник \( A M_1 C_1 D_1 \).

1. Рассмотрим куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Точка \( M \) — середина ребра \( C_1D_1 \), значит координаты \( M \) можно найти как среднее арифметическое координат точек \( C_1 \) и \( D_1 \).

2. Прямая \( AC_1 \) — диагональ куба, проходящая через вершины \( A \) и \( C_1 \). Плоскость должна содержать эту прямую.

3. Вектор \( \overrightarrow{CM} \) направлен от точки \( C \) к точке \( M \). Плоскость параллельна этой прямой, значит её нормаль перпендикулярна вектору \( \overrightarrow{CM} \).

4. Для построения плоскости через прямую \( AC_1 \) и параллельной \( CM \) возьмём векторы \( \overrightarrow{AC_1} \) и \( \overrightarrow{CM} \). Плоскость задаётся точкой \( A \) и двумя направляющими векторами.

5. Найдём координаты точек \( A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1 \) в системе координат, где длина ребра равна 1, например:
\( A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A_1(0,0,1), B_1(1,0,1), C_1(1,1,1), D_1(0,1,1) \).

6. Тогда точка \( M \) — середина ребра \( C_1D_1 \) с координатами \( M\left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, 1\right) \).

7. Вектор \( \overrightarrow{AC_1} = (1,1,1) \), вектор \( \overrightarrow{CM} = \left(\frac{1}{2}-1, 1-1, 1-0\right) = \left(-\frac{1}{2}, 0, 1\right) \).

8. Плоскость проходит через \( A(0,0,0) \) и содержит векторы \( \overrightarrow{AC_1} \) и \( \overrightarrow{CM} \). Уравнение плоскости можно получить через векторное произведение:
Нормаль плоскости \( \vec{n} = \overrightarrow{AC_1} \times \overrightarrow{CM} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 1 & 1 \\
-\frac{1}{2} & 0 & 1
\end{vmatrix} = (1 \cdot 1 — 1 \cdot 0)\mathbf{i} — (1 \cdot 1 — 1 \cdot (-\frac{1}{2}))\mathbf{j} + (1 \cdot 0 — 1 \cdot (-\frac{1}{2}))\mathbf{k} = (1)\mathbf{i} — \left(1 + \frac{1}{2}\right)\mathbf{j} + \left(0 + \frac{1}{2}\right)\mathbf{k} = (1, -\frac{3}{2}, \frac{1}{2}) \).

9. Уравнение плоскости: \( 1 \cdot x — \frac{3}{2} \cdot y + \frac{1}{2} \cdot z = 0 \), или умножив на 2: \( 2x — 3y + z = 0 \).

10. Найдём точки пересечения плоскости с ребрами куба, чтобы построить сечение:
— Пересечение с ребром \( AB \) (где \( y=0, z=0 \)): \( 2x = 0 \Rightarrow x=0 \), точка \( A(0,0,0) \).
— Пересечение с ребром \( BC_1 \) (где \( x=1, y \in [0,1], z \in [0,1] \), \( y=z \) по ребру): подставим \( x=1, z=y \) в уравнение: \( 2 \cdot 1 — 3y + y = 0 \Rightarrow 2 — 2y = 0 \Rightarrow y=1 \), значит точка \( C_1(1,1,1) \).
— Пересечение с ребром \( D_1C \) (где \( x \in [0,1], y=1, z=1 \)): подставим \( y=1, z=1 \) в уравнение: \( 2x — 3 \cdot 1 + 1 = 0 \Rightarrow 2x — 2 = 0 \Rightarrow x=1 \), точка \( C_1(1,1,1) \) совпадает с предыдущей.
— Пересечение с ребром \( AD \) (где \( x=0, y \in [0,1], z=0 \)): \( 2 \cdot 0 — 3y + 0 = 0 \Rightarrow y=0 \), точка \( A(0,0,0) \).

Таким образом, сечение — четырёхугольник \( A M_1 C_1 D_1 \), где \( M_1 \) — точка на ребре \( AB \), найденная как пересечение плоскости с этим ребром.