ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 6.42 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На ребре \(AD\) и диагонали \(CA_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили соответственно точки \(M\) и \(N\) так, что прямая \(MN\) параллельна плоскости \(BC_1D_1\). Найдите отношение \(CN : NA_1\), если известно, что \(AM : MD = 1 : 4\).

Пусть длина ребра куба равна 1. Координаты: \(A(0,0,0)\), \(D(0,1,0)\), \(C(1,1,0)\), \(A_1(0,0,1)\).

Точка \(M\) на \(AD\) делит отрезок в отношении \(AM : MD = 1 : 4\), значит \(M(0,\frac{1}{5},0)\).

Точка \(N\) на \(CA_1\) задаётся параметром \(t\): \(N = (1 — t, 1 — t, t)\).

Вектор нормали к плоскости \(BC_1D_1\) равен \(\vec{n} = (0,-1,1)\).

Вектор \(MN = N — M = (1 — t, 1 — t — \frac{1}{5}, t)\).

Условие параллельности: \(MN \cdot \vec{n} = 0\), откуда \(2t — \frac{4}{5} = 0\), значит \(t = \frac{2}{5

1. Пусть длина ребра куба равна 1. Координаты вершин выберем так: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(D(0,1,0)\), \(A_1(0,0,1)\), \(B_1(1,0,1)\), \(C_1(1,1,1)\), \(D_1(0,1,1)\).

2. Точка \(M\) лежит на ребре \(AD\) и делит его в отношении \(AM : MD = 1 : 4\). Длина ребра \(AD = 1\), значит координаты \(M\) вычисляются по формуле деления отрезка в данном отношении:
\(M = A + \frac{1}{1+4}(D — A) = (0,0,0) + \frac{1}{5}(0,1,0) = (0, \frac{1}{5}, 0)\).

3. Точка \(N\) лежит на диагонали \(CA_1\), соединяющей точки \(C(1,1,0)\) и \(A_1(0,0,1)\). Параметризуем \(N\) с помощью параметра \(t\):
\(N = C + t (A_1 — C) = (1,1,0) + t(-1,-1,1) = (1 — t, 1 — t, t)\), где \(0 \leq t \leq 1\).

4. Рассмотрим плоскость, проходящую через точки \(B(1,0,0)\), \(C_1(1,1,1)\) и \(D_1(0,1,1)\). Найдём два вектора в этой плоскости:
\(\vec{BC_1} = C_1 — B = (0,1,1)\),
\(\vec{BD_1} = D_1 — B = (-1,1,1)\).

5. Найдём вектор нормали к плоскости, вычислив векторное произведение:
\(\vec{n} = \vec{BC_1} \times \vec{BD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (0,-1,1)\).

6. Вектор \(MN\) равен разности координат точек \(N\) и \(M\):
\(\vec{MN} = N — M = (1 — t, 1 — t — \frac{1}{5}, t)\).

7. Условие параллельности прямой \(MN\) плоскости \(BC_1D_1\) означает, что вектор \(MN\) перпендикулярен нормали \(\vec{n}\):
\(\vec{MN} \cdot \vec{n} = 0\).

8. Подставим значения:
\((1 — t) \cdot 0 + \left(1 — t — \frac{1}{5}\right)(-1) + t \cdot 1 = 0\),
что даёт уравнение:
\(- \left(1 — t — \frac{1}{5}\right) + t = 0\),
\(-1 + t + \frac{1}{5} + t = 0\),
\(2t — \frac{4}{5} = 0\),
откуда
\(t = \frac{2}{5}\).

9. Точка \(N\) делит отрезок \(CA_1\) в отношении:
\(CN = t = \frac{2}{5}\),
\(NA_1 = 1 — t = \frac{3}{5}\).

10. Следовательно, искомое отношение равно
\(CN : NA_1 = \frac{2}{5} : \frac{3}{5} = 2 : 3\).