ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 6.43 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) является трапеция \(ABCD\) (\(BC \parallel AD\)). Точка \(M\) — середина ребра \(AB\). На диагонали \(AC_1\) отметили точку \(N\) так, что прямая \(MN\) параллельна плоскости \(BA_1D_1\). Найдите отношение \(AN : NC_1\), если известно, что \(AD : BC = 2 : 1\).

Дано отношение \(AD : BC = 2 : 1\). Точка \(M\) — середина ребра \(AB\), значит \(AM = MB\).

Так как прямая \(MN\) параллельна плоскости \(BA_1D_1\), треугольники \(AMD\) и \(NB_1C_1\) подобны.

Из подобия следует пропорция сторон, учитывая отношение оснований трапеции.

Получаем отношение \(AN : NC_1 = 1 : 4\).

1. Рассмотрим трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\), где \(BC \parallel AD\) и задано отношение \(AD : BC = 2 : 1\).

2. Точка \(M\) — середина ребра \(AB\), значит \(AM = MB\).

3. Точка \(N\) лежит на диагонали \(AC_1\).

4. Прямая \(MN\) параллельна плоскости \(BA_1D_1\), значит она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через \(B\) или \(D_1\).

5. Рассмотрим треугольники \(AMD\) и \(NB_1C_1\). Из параллельности \(MN\) и плоскости \(BA_1D_1\) следует, что эти треугольники подобны.

6. В силу подобия соответствующие стороны треугольников пропорциональны:

\( \frac{AM}{NB_1} = \frac{AD}{B_1C_1} = \frac{MD}{C_1N} \).

7. Так как \(M\) — середина \(AB\), то \(AM = MB\), а \(B_1C_1\) — ребро верхнего основания трапеции, параллельного \(BC\).

8. Из условия \(AD : BC = 2 : 1\) следует, что \(AD = 2 \cdot BC\), а верхнее основание \(A_1B_1C_1D_1\) подобно основанию \(ABCD\).

9. Из подобия и пропорций следует, что отношение отрезков на диагонали \(AC_1\) равно \(AN : NC_1 = 1 : 4\).

10. Итог: отношение \(AN : NC_1 = 1 : 4\).