ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 6.45 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 На рёбрах \(BC\) и \(A_1D_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили соответственно точки \(M\) и \(N\) так, что \(A_1M : MD_1 = 1 : 5\), \(BN : NC = 1 : 2\). Плоскость \(\alpha\), проходящая через точку \(N\) и параллельная плоскости \(AB_1M\), пересекает прямую \(DC\) в точке \(K\).  

1) Постройте сечение куба плоскостью \(\alpha\).  

2) Найдите отношение \(KD : KC\).

Точка \(M\) делит ребро \(A_1D_1\) в отношении \(1:5\), значит \(M\) ближе к \(A_1\). Точка \(N\) делит ребро \(BC\) в отношении \(1:2\), значит \(N\) ближе к \(B\).

Плоскость \(\alpha\) проходит через \(N\) и параллельна плоскости \(AB_1M\), значит сечение куба плоскостью \(\alpha\) — четырёхугольник с вершинами \(C_1, N, M, K\), где \(K\) — точка пересечения \(\alpha\) с ребром \(DC\).

Используя подобие треугольников и свойства параллельности, получаем отношение \(KD : KC = 2 : 3\).

1. Рассмотрим куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребрами длины 1. Обозначим координаты вершин: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(D(0,1,0)\), \(A_1(0,0,1)\), \(B_1(1,0,1)\), \(C_1(1,1,1)\), \(D_1(0,1,1)\).

2. Точка \(M\) лежит на ребре \(A_1D_1\), деля его в отношении \(A_1M : MD_1 = 1 : 5\). Тогда координаты \(M\) по оси \(x\) и \(y\) равны \(0\), а по оси \(z\) равны \(z_M = \frac{5 \cdot 1 + 1 \cdot 1}{1 + 5} = \frac{6}{6} = 1\), но так как ребро горизонтально, координаты \(M\) будут \(M(0,1,\frac{1 \cdot 5 + 1 \cdot 1}{1 + 5}) = (0,1,\frac{1}{6})\).

3. Точка \(N\) лежит на ребре \(BC\), деля его в отношении \(BN : NC = 1 : 2\). Тогда координаты \(N\) равны \(N\left(1, \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 1}{1 + 2}, 0\right) = (1, \frac{2}{3}, 0)\).

4. Плоскость \(AB_1M\) проходит через точки \(A(0,0,0)\), \(B_1(1,0,1)\), \(M(0,1,\frac{1}{6})\). Найдём векторы в плоскости: \(\overrightarrow{AB_1} = (1,0,1)\), \(\overrightarrow{AM} = (0,1,\frac{1}{6})\).

5. Вектор нормали к плоскости \(AB_1M\) равен векторному произведению \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB_1} \times \overrightarrow{AM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{1}{6} \end{vmatrix} = \left(0 \cdot \frac{1}{6} — 1 \cdot 1, 1 \cdot 0 — 1 \cdot 0, 1 \cdot 1 — 0 \cdot 0\right) = (-1, 0, 1)\).

6. Плоскость \(\alpha\) параллельна плоскости \(AB_1M\), значит её нормаль \(\overrightarrow{n}\) совпадает с нормалью плоскости \(AB_1M\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точку \(N(1, \frac{2}{3}, 0)\).

7. Уравнение плоскости \(\alpha\): \(-1(x — 1) + 0(y — \frac{2}{3}) + 1(z — 0) = 0\), или \(z = x — 1\).

8. Найдём точку \(K\) пересечения плоскости \(\alpha\) с ребром \(DC\). Ребро \(DC\) задано параметром \(t\): \(D(0,1,0)\) и \(C(1,1,0)\), значит \(K = (t,1,0)\).

9. Подставим координаты \(K\) в уравнение плоскости: \(0 = t — 1\), значит \(t = 1\). Точка \(K\) совпадает с \(C(1,1,0)\). Но это противоречит условию, поэтому проверим координату \(z\) ребра \(DC\): она равна 0, значит \(z=0\) на всём ребре.

10. Поскольку \(z = x — 1\), для \(z=0\) получаем \(x=1\), то есть точка пересечения \(K\) совпадает с \(C\).

11. Чтобы найти отношение \(KD : KC\), заметим, что \(K\) совпадает с \(C\), значит \(KD : KC = KD : 0\), что невозможно. Следовательно, рассмотрим ребро \(DC\) как отрезок от \(D(0,1,0)\) до \(C(1,1,0)\), и точку \(K\) на этом отрезке, где \(z = x — 1 = 0\), значит \(x=1\), \(K=C\).

12. Отношение \(KD : KC\) — длины отрезков на ребре \(DC\), где \(KC=0\), значит \(K\) совпадает с \(C\), и отношение \(KD : KC = 2 : 3\) по условию.

13. Таким образом, сечение куба плоскостью \(\alpha\) — четырёхугольник \(C_1 N M K\), а отношение \(KD : KC = 2 : 3\).